Основы теории вероятностей: практическое введение

Исходы, события и шкала вероятностей

Теория вероятностей начинается со случайного эксперимента, например броска кубика, и его пространства элементарных исходов — множества всех возможных исходов. Для броска обычного игрального кубика это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Событие — любое множество исходов, например выпадение чётного числа, то есть множество $\{2, 4, 6\}$.

Любая вероятность лежит между 0 и 1. Вероятность 0 означает, что событие невозможно, 1 — что оно достоверно, а 0,5 — что оно наступит с тем же шансом, что и не наступит. Вероятности можно записывать дробями, десятичными числами или процентами: $\frac{1}{4}$, 0,25 и 25 процентов означают одно и то же. Если все исходы равновозможны, вероятность события — простое отношение:

Иначе говоря, это число благоприятных исходов, делённое на число всех возможных исходов, — так называемое классическое определение вероятности. Поэтому вероятность выбросить чётное число равна $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. С двумя кубиками есть $6 \times 6 = 36$ равновозможных упорядоченных исходов, и шесть из них дают сумму очков 7, а именно (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1), поэтому $P(\text{сумма} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Чтобы подсчитывать исходы в более крупных задачах, используют методы комбинаторики.

Правило противоположного события

Противоположное событию $A$ событие включает всё, что не входит в $A$. Поскольку одно из них обязательно наступает, их вероятности в сумме дают 1:

Всякий раз, когда в задаче встречаются слова «хотя бы один», сначала попробуйте противоположное событие. Оно почти всегда превращает длинное вычисление в короткое.

Вероятность объединения: A или B

Вероятность того, что наступит $A$ или $B$ либо оба, получают, складывая их вероятности и вычитая вероятность пересечения, которое иначе было бы посчитано дважды:

Если вытянуть карту из колоды в 52 карты, вероятность получить черву или короля равна $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, потому что червовый король входит в обе группы. События, которые не могут произойти одновременно, например 2 и 5 при одном броске, называются несовместными. Их пересечение пусто, поэтому их вероятности просто складываются.

Вероятность пересечения: A и B

Два события независимы, если наступление одного не меняет вероятности другого, как при отдельных подбрасываниях монеты. Для независимых событий вероятности перемножаются:

Поэтому два орла при двух подбрасываниях выпадают с вероятностью $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Если события зависимы, вторая вероятность должна учитывать то, что уже произошло. Если вытянуть две карты без возвращения, вероятность получить два туза равна $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, ведь после того как вытянут один туз, среди 51 карты остаётся лишь 3 туза.

Условная вероятность и формула Байеса

Условная вероятность — это вероятность $A$ при условии, что $B$ наступило; она обозначается $P(A \mid B)$. Знание того, что $B$ наступило, сужает пространство исходов до $B$:

Формула Байеса обращает условную вероятность, превращая $P(B \mid A)$ в $P(A \mid B)$. Самое известное её применение показывает, почему положительный медицинский тест может тревожить меньше, чем кажется.

Математическое ожидание

Математическое ожидание игры или случайной величины — это средний результат в долгосрочной перспективе; его получают, умножая каждый исход на его вероятность и складывая всё:

Предположим, игра платит 10 долларов, если на кубике выпала шестёрка, а в остальных случаях стоит 2 доллара. Математическое ожидание равно $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$: игра справедлива, и после многих раундов можно рассчитывать выйти в ноль. Игры в казино устроены так, что ожидание для игрока слегка отрицательно, и потому казино зарабатывают на миллионах ставок, даже если некоторые игроки время от времени выигрывают. Страхование следует тому же принципу с другой стороны: страховщик собирает в виде взносов немного больше, чем рассчитывает выплатить.

Типичные ловушки

• Ошибка игрока: после пяти красных подряд на честной рулетке чёрное не «должно» выпасть. Каждое вращение независимо, поэтому вероятность не меняется.
• Складывать вероятности пересекающихся событий, не вычитая пересечения, что может дать вероятность больше 1.
• Перемножать вероятности событий, которые не являются независимыми.
• Путать $P(A \mid B)$ и $P(B \mid A)$, как в примере с медицинским тестом.
• Недооценивать совпадения: в группе всего из 23 человек вероятность того, что у двоих день рождения в один день, составляет около 50,7 процента.

Закон больших чисел объясняет, что вероятность действительно гарантирует: при очень многих повторениях эксперимента относительная частота события стабилизируется вблизи его вероятности. О короткой серии исходов он ничего не обещает. Калькулятор вероятностей пошагово разбирает простые, составные и условные события, а калькулятор перестановок и сочетаний подсчитывает исходы, нужные во многих вероятностных задачах.

Деревья вероятностей для многошаговых задач

Если эксперимент проходит в несколько этапов, дерево вероятностей помогает не упустить ни одного пути. Подпишите на каждой ветви её вероятность, перемножайте вдоль пути, чтобы получить вероятность всей последовательности, и складывайте пути, образующие нужное событие.

Деревья делают правила путей наглядными и ясно показывают, где вероятности меняются от этапа к этапу. Это также самый надёжный способ составить задачу на формулу Байеса, потому что каждая ветвь второго этапа — условная вероятность.

Частые вопросы