Статистика

Как вычислить стандартное отклонение (выборки и генеральной совокупности)

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубликовано 25 октября 2026 г.

Стандартное отклонение показывает, насколько далеко данные обычно отстоят от среднего. Это руководство пошагово показывает вычисление, объясняет, когда делить на n, а когда на n минус 1, и как затем толковать результат.

Что измеряет стандартное отклонение

Среднее показывает, где находится центр набора данных, но не то, насколько плотно значения сгруппированы вокруг него. Стандартное отклонение восполняет этот пробел. Малое стандартное отклонение означает, что значения близки к среднему; большое — что они сильно разбросаны. Оно измеряется в тех же единицах, что и данные: стандартное отклонение роста 5 сантиметров означает, что типичный рост отстоит от среднего примерно на 5 сантиметров.

Вычисление подчиняется простой логике. Измерьте расстояние каждого значения до среднего, возведите эти расстояния в квадрат, чтобы значения выше и ниже среднего не взаимно уничтожались, найдите среднее квадратов и в конце извлеките квадратный корень, чтобы вернуться к исходным единицам. Если хотите повторить само понятие среднего, начните со статьи среднее, медиана, мода и стандартное отклонение.

Две формулы

Существуют две версии — в зависимости от того, составляют ли ваши данные всю генеральную совокупность или выборку из более крупной совокупности:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Стандартное отклонение генеральной совокупности $\sigma$ делит на число значений $N$ . Выборочное стандартное отклонение $s$ делит на $n - 1$ . Величина под корнем — дисперсия, обозначаемая $\sigma^2$ или $s^2$ . Дисперсия полезна в теории, но её единицы возведены в квадрат, например квадратные сантиметры, поэтому обычно указывают стандартное отклонение.

Пять шагов вручную

Пример 1: стандартное отклонение пяти значений

Данные: 6, 8, 10, 12, 14. Шаг 1, найдите среднее: $\frac{50}{5} = 10$ .
Шаг 2, вычтите среднее из каждого значения: $-4, -2, 0, 2, 4$ .
Шаг 3, возведите каждое отклонение в квадрат: $16, 4, 0, 4, 16$ .
Шаг 4, сложите квадраты: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
Шаг 5, разделите и извлеките корень. Для генеральной совокупности: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . Для выборки: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

Таблица со столбцами $x$ , $x - \bar{x}$ и $(x - \bar{x})^2$ помогает держать работу в порядке. Полезная проверка: отклонения во втором столбце в сумме всегда дают ноль. Если это не так, среднее найдено неверно, а вместе с ним и всё, что идёт дальше.

Почему для выборки делят на n минус 1?

Работая с выборкой, вы не знаете истинного среднего генеральной совокупности, поэтому измеряете отклонения от выборочного среднего. Но это среднее по построению — именно та точка, которая делает сумму квадратов отклонений для данной выборки наименьшей. Поэтому отклонения, измеренные от него, в среднем немного меньше, чем были бы от истинного среднего.

Деление на $n - 1$ вместо $n$ компенсирует этот эффект, и выборочная дисперсия становится несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности. Эта поправка называется поправкой Бесселя. На неё можно посмотреть и через степени свободы: если известны среднее и $n - 1$ отклонений, последнее определено, потому что их сумма должна быть равна нулю. Независимую информацию несут лишь $n - 1$ отклонений.

На практике используйте выборочную формулу, если только ваши данные действительно не охватывают всех членов интересующей вас группы, например оценки всех учеников класса, когда важен только этот класс.

Сокращённая формула и таблицы частот

Алгебраически равносильная формула избавляет от вычисления каждого отклонения по отдельности:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

Для данных из примера 1 $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ , поэтому $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ , как и раньше. Вручную этот способ быстр, но компьютеры избегают его для больших или очень точных чисел, потому что вычитание двух больших почти равных чисел снижает точность.

Пример 2: данные в таблице частот

Опрос фиксирует число домашних животных в 10 семьях: значение 1 встречается 2 раза, значение 2 — 5 раз, значение 3 — 3 раза.
Среднее: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
Взвешенные квадраты отклонений: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
Для выборки: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . Для генеральной совокупности: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

Как толковать результат

Для данных, приблизительно подчиняющихся колоколообразному нормальному распределению, эмпирическое правило даёт конкретное толкование стандартного отклонения: около 68 процентов значений лежат ближе одного стандартного отклонения от среднего, около 95 процентов — ближе двух и около 99,7 процента — ближе трёх. Если рост группы взрослых имеет среднее 170 сантиметров и стандартное отклонение 8, то около 95 процентов группы имеют рост от 154 до 186 сантиметров.

Для данных любой формы неравенство Чебышёва всё равно гарантирует, что не менее 75 процентов значений лежат ближе двух стандартных отклонений от среднего и не менее примерно 89 процентов — ближе трёх. Выразив расстояние значения от среднего в стандартных отклонениях, получаем его z-оценку, позволяющую сравнивать значения, измеренные в разных шкалах.

Стандартное отклонение предсказуемо реагирует и на преобразования данных. Если прибавить ко всем значениям одну и ту же константу, среднее сдвинется, но стандартное отклонение не изменится, так как разброс остаётся прежним. Если умножить все значения на константу, стандартное отклонение умножится на модуль этой константы: переход от метров к сантиметрам умножает его на 100.

С калькулятором или в электронной таблице

У научных калькуляторов обычно есть две клавиши, часто обозначенные $\sigma_x$ или $\sigma_n$ для версии генеральной совокупности и $s_x$ или $\sigma_{n-1}$ для выборочной версии. В русскоязычных электронных таблицах, например в Google Таблицах, функция СТАНДОТКЛОН.Г вычисляет стандартное отклонение генеральной совокупности, а СТАНДОТКЛОН.В — выборочное; более старая функция СТАНДОТКЛОН тоже даёт выборочное значение. Выбор не той функции — самая частая причина несовпадения результатов.

Калькулятор стандартного отклонения показывает обе версии с полной таблицей отклонений — идеально, чтобы проверить домашнее задание, решённое вручную. Калькулятор среднего, медианы и моды дополняет остальные показатели, а калькулятор z-оценки использует результат для стандартизации отдельных значений.

Сравнение разброса в разных шкалах

Стандартные отклонения трудно сравнивать, когда средние сильно различаются. Стандартное отклонение 2 кг огромно для новорождённых, но ничтожно для взрослых слонов. Коэффициент вариации решает эту проблему, деля стандартное отклонение на среднее; обычно его выражают в процентах. Два вложения со средней годовой доходностью 6 и 9 процентов и стандартными отклонениями 3 и 9 процентных пунктов имеют коэффициенты вариации 50 и 100 процентов: второе вдвое изменчивее относительно своей типичной доходности.

Типичные ошибки

Забыть возвести отклонения в квадрат, из-за чего положительные и отрицательные значения взаимно уничтожаются и дают ноль.
Забыть извлечь корень в конце и указать вместо стандартного отклонения дисперсию.
Путать выборочную формулу и формулу для генеральной совокупности или нажимать не ту клавишу на калькуляторе.
Слишком сильно округлять среднее перед вычислением отклонений, из-за чего накапливаются ошибки округления.
Обрабатывать таблицу частот так, будто каждое значение встречается лишь один раз.

Частые вопросы

Какое стандартное отклонение использовать: выборочное или генеральной совокупности?

Формулу для генеральной совокупности используйте, только если ваши данные охватывают всех членов группы, которую вы хотите описать. Если данные — выборка, по которой вы хотите судить о более крупной группе, что бывает обычно, используйте выборочную формулу с $n - 1$ .

Зачем извлекать квадратный корень из дисперсии?

Дисперсия — это среднее квадратов отклонений от среднего, а стандартное отклонение — квадратный корень из неё. Обе несут одну и ту же информацию, но стандартное отклонение выражено в исходных единицах, поэтому его легче толковать.

Что означает нулевое стандартное отклонение?

Что все значения в наборе данных одинаковы: разброса нет вовсе. Любое, даже самое малое, колебание делает стандартное отклонение строго положительным.

Плохо ли большое стандартное отклонение?

Не обязательно. Оно лишь означает, что данные сильно разбросаны. Хорошо это или плохо, зависит от контекста: большие колебания сроков доставки — плохо, тогда как большие колебания в эксперименте по селекции растений могут быть именно тем, что исследователи надеются найти.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакция и математическая вычитка

Наша редакция пишет каждое руководство так, чтобы оно объясняло рассуждение за каждым методом, а не только ответ. Каждый разобранный пример перед публикацией проверяется движками решения сайта и автоматическими тестами, а статьи обновляются, как только меняется метод или формат теста.