Теорема синусов, включая неоднозначный случай

Формула и обозначения

Обозначьте углы треугольника $A$, $B$ и $C$, а противолежащие им стороны — $a$, $b$ и $c$. Сторона, противолежащая углу, — это та, которая его не касается. В этих обозначениях теорема синусов записывается так:

Здесь $R$ — радиус окружности, проходящей через три вершины, так называемой описанной окружности. Больше двух из трёх дробей одновременно никогда не используют: на практике теорема — это пропорция между стороной, противолежащим ей углом, ещё одной стороной и её противолежащим углом. Её можно записать и в перевёрнутом виде, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, что удобнее, когда ищут угол.

Теорема верна для любого треугольника, а не только для прямоугольного, и относится к тригонометрии треугольника общего вида. В прямоугольном треугольнике с $C = 90^\circ$ она сводится к знакомому соотношению $\sin A = \frac{a}{c}$, поскольку $\sin 90^\circ = 1$.

Почему теорема синусов верна

Проведите из вершины $C$ высоту на сторону $c$ и обозначьте её длину $h$. Треугольник распадается на два прямоугольных треугольника. В том, где есть угол $A$, гипотенуза равна $b$, поэтому $h = b\sin A$. В том, где есть угол $B$, гипотенуза равна $a$, поэтому $h = a\sin B$.

Оба выражения описывают одну и ту же высоту, значит, $b\sin A = a\sin B$. Разделив обе части на $\sin A\sin B$, получаем $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Повторив рассуждение с высотой из другой вершины, добавляем сторону $c$. Если угол $A$ тупой, основание высоты лежит вне треугольника, но те же равенства остаются верными, потому что $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

Та же высота даёт формулу площади. Площадь равна половине произведения основания на высоту, то есть при основании $c$ и высоте $b\sin A$:

Например, треугольник, в котором две стороны длиной 8 и 11 образуют угол $50^\circ$, имеет площадь $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ квадратных единиц.

Когда её применять: случаи УУС и УСУ

Теореме синусов нужна хотя бы одна полная пара: сторона и противолежащий ей угол. Если вы знаете два угла, вы знаете и третий, ведь сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Поэтому любую задачу с двумя углами и стороной можно решить теоремой синусов. Эти случаи обозначают УУС (угол, угол, сторона) и УСУ (угол, сторона, угол).

Всегда считайте по данной стороне, а не по стороне, которую вы вычислили и округлили. Так ошибки округления не будут накапливаться.

Неоднозначный случай (ССУ)

Когда известны две стороны и угол, противолежащий одной из них, данные могут не описывать ни одного треугольника, описывать ровно один или два разных. Причина в том, что острый угол и смежный с ним угол имеют одинаковый синус, поэтому $\sin B = k$ даёт два кандидата, $B$ и $180^\circ - B$, и оба могут подойти.

Пусть угол $A$ острый, $a$ — противолежащая ему сторона, а $b$ — другая известная сторона. Вычислите высоту $h = b\sin A$. Тогда:

• Если $a < h$, сторона слишком коротка, чтобы достать до основания: треугольника нет.
• Если $a = h$, она едва достаёт до основания: один прямоугольный треугольник.
• Если $h < a < b$, она может встать в двух положениях: два треугольника.
• Если $a \ge b$, подходит только одно положение: один треугольник.

Если $A$ тупой, треугольник существует при $a > b$ и не существует в противном случае, ведь сторона напротив тупого угла должна быть наибольшей.

Геодезическая задача

Геодезисты используют теорему синусов, чтобы находить расстояния, которые нельзя пройти пешком. Две точки $P$ и $Q$ на берегу реки находятся в 100 м друг от друга. На противоположном берегу растёт дерево $T$. Угол при $P$ между берегом и линией визирования на дерево равен $52^\circ$, при $Q$ — $71^\circ$.

Та же идея триангуляции, повторённая в огромных сетях треугольников, позволила составить карты целых стран задолго до спутникового позиционирования и до сих пор лежит в основе того, как приёмники спутниковой навигации и сети мобильной связи оценивают положение по углам и расстояниям.

Теорема синусов или теорема косинусов?

Посмотрите на данные. Если у вас есть сторона и противолежащий ей угол, а также ещё один элемент, используйте теорему синусов. Если у вас две стороны и угол между ними (СУС) или все три стороны (ССС), полной пары нет, поэтому начните с теоремы косинусов. После одного применения теоремы косинусов пара обычно появляется, и теорема синусов может доделать остальное; но надёжнее сначала найти наибольший угол по теореме косинусов, чтобы избежать неоднозначности арксинуса.

Полный алгоритм выбора, случай за случаем, вы найдёте в нашем руководстве по решению треугольников. Что касается значений углов, единичная окружность объясняет, почему $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, и именно отсюда возникает неоднозначный случай.

Частые ошибки

• Сопоставить сторону с углом, которому она не противолежит. Сначала сделайте подписанный рисунок.
• В случае ССУ забыть второе решение, $180^\circ - B$.
• Принять второе решение, при котором сумма углов превышает $180^\circ$.
• Пользоваться калькулятором в режиме радиан при углах в градусах.
• Слишком сильно округлять промежуточные углы, что может заметно изменить итоговые значения сторон.

Быстрая проверка на правдоподобие выявляет большинство ошибок: наибольшая сторона должна лежать напротив наибольшего угла, а наименьшая — напротив наименьшего. Калькулятор теоремы косинусов решает любой треугольник по трём данным и в неоднозначном случае показывает оба решения, так что вы можете проверить свои вычисления.

Частые вопросы