İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:28

1/(n(n+1)) toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n^2); toplam ≈ 1 (eşleşir 1 10+ basamağa kadar).

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.9 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
  2. 2. Adım adım
    1. ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
      Seriyi yazalım
    2. lim⁡n→∞1n(n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} = 0
      n. terim testi
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      p-serisiyle limit karşılaştırma testi
    4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
  3. 3. Cevap
    ∑n=1∞1n(n+1) yakınsak≈1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} \ \text{yakınsak} \approx 1

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1 (matches 1 to 10+ digits)

  4. 4. Kontrol
    • Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 0.90909091, S₁₀₀ = 0.99009901, S₁₀₀₀ = 0.999001, S₁₀₀₀₀ = 0.99990001

Döküm

Problem. İşte problem: 1/(n(n artı 1)) toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / (n(n artı 1)) (n toplamının yakınsak mı ıraksak mı olduğuna karar verin.

Adım adım. Seriyi yazalım. n eşittir 1, 2, 3 için Σ a(n), … ve a(n) eşittir 1 / (n(n artı 1)). İlk terimler: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: terimler yaklaşık olarak 1/n kare gibi küçülür (a(2N)/a(N)) üzerinden tahmin edildi, bu yüzden Σ 1/n kare ile karşılaştıralım: lim a(n) çarpı n kare eşittir 1. Limit pozitif sonlu bir sayıdır; dolayısıyla seri, tam olarak Σ 1/n kare p-serisi gibi davranır ve bu seri yakınsaktır, çünkü p büyüktür 1. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 1 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n kare); toplam yaklaşık 1 (eşleşir 1 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 0.90909091, S₁₀₀ eşittir 0.99009901, S₁₀₀₀ eşittir 0.999001, S₁₀₀₀₀ eşittir 0.99990001.

Benzer dersler

1/(n(n+1)) toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla — adım adım video ders