Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:36

1/n² toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n^2); toplam ≈ 1.644934067 (eşleşir π²/6 10+ basamağa kadar).

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.9 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
  Seriyi yazalım
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
  n. terim testi
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
  p-serisiyle limit karşılaştırma testi
4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{yakınsak} \approx 1.644934067$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Döküm

Problem. İşte problem: 1/n kare toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / n kare (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 / n kare. İlk terimler: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: terimler yaklaşık olarak 1/n kare gibi küçülür (a(2N)/a(N)) üzerinden tahmin edildi, bu yüzden Σ 1/n kare ile karşılaştıralım: lim a(n) çarpı n kare eşittir 1. Limit pozitif sonlu bir sayıdır; dolayısıyla seri, tam olarak Σ 1/n kare p-serisi gibi davranır ve bu seri yakınsaktır, çünkü p büyüktür 1. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 1.644934067 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n kare); toplam yaklaşık 1.644934067 (eşleşir pi kare/6 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 1.5497677, S₁₀₀ eşittir 1.6349839, S₁₀₀₀ eşittir 1.6439346, S₁₀₀₀₀ eşittir 1.6448341.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler