İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:45

1/(2n-1)(2n+1) toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n^2); toplam ≈ 0.5 (eşleşir 1/2 10+ basamağa kadar).

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (1.0 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
  2. 2. Adım adım
    1. ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
      Seriyi yazalım
    2. lim⁡n→∞1(2n−1)(2n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0
      n. terim testi
    3. lim⁡n→∞an1/n2=14\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}
      p-serisiyle limit karşılaştırma testi
    4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
  3. 3. Cevap
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1) yakınsak≈0.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{yakınsak} \approx 0.5

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)

  4. 4. Kontrol
    • Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 0.47619048, S₁₀₀ = 0.49751244, S₁₀₀₀ = 0.49975012, S₁₀₀₀₀ = 0.499975

Döküm

Problem. İşte problem: 1/(2n eksi 1)(2n artı 1) toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / (2 n eksi 1) (2 n artı 1) (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 / (2 n eksi 1) (2 n artı 1). İlk terimler: 0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: terimler yaklaşık olarak 1/n kare gibi küçülür (a(2N)/a(N)) üzerinden tahmin edildi, bu yüzden Σ 1/n kare ile karşılaştıralım: lim a(n) çarpı n kare eşittir 1 bölü 4. Limit pozitif sonlu bir sayıdır; dolayısıyla seri, tam olarak Σ 1/n kare p-serisi gibi davranır ve bu seri yakınsaktır, çünkü p büyüktür 1. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 0.5 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n kare); toplam yaklaşık 0.5 (eşleşir 1 bölü 2 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 0.47619048, S₁₀₀ eşittir 0.49751244, S₁₀₀₀ eşittir 0.49975012, S₁₀₀₀₀ eşittir 0.499975.

Benzer dersler

1/(2n-1)(2n+1) toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla — adım adım video ders