İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 3:06

(-1)ⁿ/n toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri koşullu yakınsaktır (alternatif seri testi); toplam ≈ -0.6931471806 (eşleşir −ln(2) 10+ basamağa kadar).

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (1.1 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
  2. 2. Adımlar, bölüm 1
    1. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
      Seriyi yazalım
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      n. terim testi
    3. Alterne seri testi (Leibniz testi)
    4. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      p-serisiyle limit karşılaştırma testi
  3. 3. Adımlar, bölüm 2
    1. Mutlak mı, koşullu mu?
    2. Toplamı sayısal olarak tahmin et
  4. 4. Cevap
    ∑n=1∞(−1)nn kos¸ullu yakınsak≈−0.6931471806\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{koşullu yakınsak} \approx -0.6931471806

    alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)

  5. 5. Kontrol
    • Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Döküm

Problem. İşte problem: (eksi 1) üssü n/n toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ (eksi 1) üssü n / n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adımlar, bölüm 1. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir (eksi 1) üssü n / n. İlk terimler: eksi 1, 0.5, eksi 0.333333, 0.25, …. n. terim testi. lim |a(n)| eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. Alterne seri testi (Leibniz testi). İşaretler dönüşümlü değişir ve b(n) eşittir 1 / n mutlak değerleri azalır (10 üssü 6) değerine kadar 310 indiste kontrol edildi ve 0 değerine gider; bu yüzden seri yakınsaktır. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Mutlak değerler serisi Σ 1 / n: terimler yaklaşık olarak 1/n gibi küçülür (a(2N)/a(N)) üzerinden tahmin edildi, bu yüzden Σ 1/n ile karşılaştıralım: lim a(n) çarpı n eşittir 1. Limit pozitif sonlu bir sayıdır; dolayısıyla seri, tam olarak Σ 1/n p-serisi gibi davranır ve bu seri ıraksaktır, çünkü p küçük veya eşit 1.

Adımlar, bölüm 2. Mutlak mı, koşullu mu?. Σ |a(n)| ıraksaktır (Σ 1/n) ile limit karşılaştırma testi; bu yüzden seri yalnızca koşullu yakınsaktır. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık eksi 0.6931471806 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri koşullu yakınsaktır (alternatif seri testi); toplam yaklaşık eksi 0.6931471806 (eşleşir eksi ln(2) 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir eksi 0.64563492, S₁₀₀ eşittir eksi 0.68817218, S₁₀₀₀ eşittir eksi 0.69264743, S₁₀₀₀₀ eşittir eksi 0.69309718.

Benzer dersler

(-1)ⁿ/n toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla — adım adım video ders