Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:47

1/n⁴ toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n^4); toplam ≈ 1.082323234 (eşleşir π⁴/90 10+ basamağa kadar).

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (1.0 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}$
  Seriyi yazalım
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0$
  n. terim testi
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1$
  p-serisiyle limit karşılaştırma testi
4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{yakınsak} \approx 1.082323234$
limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

Döküm

Problem. İşte problem: 1/n üssü 4 toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / n üssü 4 (n toplamının yakınsak mı ıraksak mı olduğuna karar verin.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 / n üssü 4. İlk terimler: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: terimler yaklaşık olarak 1/n üssü 4 gibi küçülür (a(2N)/a(N)) üzerinden tahmin edildi, bu yüzden Σ 1/n üssü 4 ile karşılaştıralım: lim a(n) çarpı n üssü 4 eşittir 1. Limit pozitif sonlu bir sayıdır; dolayısıyla seri, tam olarak Σ 1/n üssü 4 p-serisi gibi davranır ve bu seri yakınsaktır, çünkü p büyüktür 1. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 1.082323234 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (limit karşılaştırma testi Σ 1/n üssü 4; toplam yaklaşık 1.082323234 (eşleşir pi üssü 4 bölü 90 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 1.0820366, S₁₀₀ eşittir 1.0823229, S₁₀₀₀ eşittir 1.0823232, S₁₀₀₀₀ eşittir 1.0823232.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler