Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:15

Похідна ((2x)³+(ln(x²+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = 24x² + 2x / (x² + 1).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[(2x)3+ln⁡(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}+\ln\left({x}^{2}+1\right)\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[(2x)3+ln⁡(x2+1)]=24x2+2xx2+1\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}+\ln\left({x}^{2}+1\right)\right] = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    2. ddx[ln⁡(x2+1)]=2xx2+1\frac{d}{dx}\left[\ln\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{x}^{2}+1}
      Похідна складеної функції — d/dx[ln u] = u′/u
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[(2x)3]=24x2\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}\right] = 24{x}^{2}
      Правило степеня разом із правилом диференціювання складної функції: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
    2. ddx[2x]=2\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2
      Винесення сталого множника
    3. f′(x)=24x2+2xx2+1f'(x) = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=24x2+2xx2+1f'(x) = 24{x}^{2}+\frac{2x}{{x}^{2}+1}

    f'(x) = 24x² + 2x / (x² + 1)

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна ((2x) у кубі) плюс (ln(x у квадраті плюс 1)). Знайдемо похідну ((2x) у кубі) плюс (ln(x у квадраті плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна складеної функції — похідна за x[ln u] дорівнює u штрих /u. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1.

Кроки, частина 2. Правило степеня разом із правилом диференціювання складної функції: похідна за x[u у степені n] дорівнює n помножити на u у степені n мінус 1 помножити на u штрих. Винесення сталого множника. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює 24x у квадраті плюс 2x / (x у квадраті плюс 1). Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна ((2x)³+(ln(x²+1)) — покроковий відеоурок