Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:20

Похідна (ln(2x))/(sin(x²+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (sin(x² + 1) / x - 2x·ln(2x)·cos(x² + 1)) / sin(x² + 1)².

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[ln⁡(2x)sin⁡(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(2x\right)}{\sin\left({x}^{2}+1\right)}\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[ln⁡(2x)sin⁡(x2+1)]=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(2x\right)}{\sin\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[sin⁡(x2+1)]=2cos⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x
      Похідна складеної функції — d/dx[sin u] = cos u · u′
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[ln⁡(2x)]=1x\frac{d}{dx}\left[\ln\left(2x\right)\right] = \frac{1}{x}
      Похідна складеної функції — d/dx[ln u] = u′/u
    2. ddx[2x]=2\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2
      Винесення сталого множника
    3. f′(x)=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}

    f'(x) = (sin(x² + 1) / x - 2x·ln(2x)·cos(x² + 1)) / sin(x² + 1)²

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (ln(2x))/(sin(x у квадраті плюс 1)). Знайдемо похідну (ln(2x)) / (sin(x у квадраті плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна частки: (u/v) штрих дорівнює (u штрих v мінус uv штрих )/v у квадраті. Похідна складеної функції — похідна за x[sin u] дорівнює cos u помножити на u штрих. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1.

Кроки, частина 2. Похідна складеної функції — похідна за x[ln u] дорівнює u штрих /u. Винесення сталого множника. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (sin(x у квадраті плюс 1) / x мінус 2x помножити на ln(2x) помножити на cos(x у квадраті плюс 1)) / sin(x у квадраті плюс 1) у квадраті. Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна (ln(2x))/(sin(x²+1)) — покроковий відеоурок