Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:26

Похідна (√(eˣ+1))(cos(sin(x)))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[ex+1cos⁡(sin⁡(x))]\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[ex+1cos⁡(sin⁡(x))]=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Похідна добутку: (uv)′ = u′v + uv′
    2. ddx[cos⁡(sin⁡(x))]=−(sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x))\frac{d}{dx}\left[\cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = -\left(\sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)\right)
      Правило диференціювання складної функції — d/dx[cos u] = −sin u · u′
    3. ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)
      d/dx[sin x] = cos x
    4. ddx[ex+1]=ex2ex+1\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1}\right] = \frac{\frac{{e}^{x}}{2}}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Правило диференціювання складної функції — d/dx[√u] = u′/(2√u)
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[ex+1]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    2. ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}
      Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    3. f′(x)=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=excos⁡(sin⁡(x))2−ex+12sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)ex+1f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}

    f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1)

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (sqrt(e у степені x плюс 1))(cos(sin(x))). Знайдіть похідну (sqrt(e у степені x плюс 1)) (cos(sin(x))) відносно x.

Кроки, частина 1. Похідна добутку: (uv) штрих дорівнює u штрих v плюс uv штрих. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[cos u] дорівнює мінус sin u помножити на u штрих. похідна за x[sin x] дорівнює cos x. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[квадратний корінь з u] дорівнює u штрих /(2квадратний корінь з u.

Кроки, частина 2. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (e у степені x помножити на cos(sin(x)) / 2 мінус sqrt(e у степені x плюс 1) у квадраті помножити на sin(sin(x)) помножити на cos(x)) / sqrt(e у степені x плюс 1). Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна (√(eˣ+1))(cos(sin(x))) — покроковий відеоурок