Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:27

Похідна (sin(x²+1))/(arctan(x²+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[sin⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[sin⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)]=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)x\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x
      Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[tan⁡−1(x2+1)]=2x(x2+1)2+1\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}
      Правило диференціювання складної функції — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
    3. ddx[sin⁡(x2+1)]=2cos⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x
      Похідна складеної функції — d/dx[sin u] = cos u · u′
    4. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    2. f′(x)=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)xf'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=(2cos⁡(x2+1)tan⁡−1(x2+1)−2(1tan⁡−1(x2+1))2sin⁡(x2+1)(x2+1)2+1)xf'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x

    f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (sin(x у квадраті плюс 1))/(arctan(x у квадраті плюс 1)). Знайдіть похідну (sin(x у квадраті плюс 1)) / (atan(x у квадраті плюс 1)) відносно x.

Кроки, частина 1. Похідна частки: (u/v) штрих дорівнює (u штрих v мінус uv штрих )/v у квадраті. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[arctan u] дорівнює u штрих /(1 плюс u у квадраті). Похідна складеної функції — похідна за x[sin u] дорівнює cos u помножити на u штрих. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо.

Кроки, частина 2. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (2cos(x у квадраті плюс 1) / atan(x у квадраті плюс 1) мінус 2(1 / atan(x у квадраті плюс 1)) у квадраті помножити на sin(x у квадраті плюс 1) / ((x у квадраті плюс 1) у квадраті плюс 1)) помножити на x. Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна (sin(x²+1))/(arctan(x²+1)) — покроковий відеоурок