ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:35

Похідна (ln(3x-2))/(cos(eˣ+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (3 / (3 x - 2) + ln(3 x - 2)·sin(e^x + 1)·e^x / cos(e^x + 1)) / cos(e^x + 1).

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(3x-2\right)}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}\right]$
2. Кроки, частина 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(3x-2\right)}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}\right] = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
  Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\cos\left({e}^{x}+1\right)\right] = -\left(\sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}\right)$
  Правило диференціювання складної функції — d/dx[cos u] = −sin u · u′
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Кроки, частина 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left(3x-2\right)\right] = \frac{3}{3x-2}$
  Похідна складеної функції — d/dx[ln u] = u′/u
2. $\frac{d}{dx}\left[3x-2\right] = 3$
  Похідна різниці: диференціюємо кожен доданок окремо
3. $\frac{d}{dx}\left[3x\right] = 3$
  Винесення сталого множника
4. $f'(x) = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
  Зводимо подібні й спрощуємо
4. Відповідь
$f'(x) = \frac{\frac{3}{3x-2}+\frac{\ln\left(3x-2\right) \sin\left({e}^{x}+1\right) {e}^{x}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}}{\cos\left({e}^{x}+1\right)}$
f'(x) = (3 / (3 x - 2) + ln(3 x - 2)·sin(e^x + 1)·e^x / cos(e^x + 1)) / cos(e^x + 1)
5. Перевірка
- Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (ln(3x мінус 2))/(cos(e у степені x плюс 1)). Знайдемо похідну (ln(3 x мінус 2)) / (cos(e у степені x плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна частки: (u/v) штрих дорівнює (u штрих v мінус uv штрих )/v у квадраті. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[cos u] дорівнює мінус sin u помножити на u штрих. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих.

Кроки, частина 2. Похідна складеної функції — похідна за x[ln u] дорівнює u штрих /u. Похідна різниці: диференціюємо кожен доданок окремо. Винесення сталого множника. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (3 / (3 x мінус 2) плюс ln(3 x мінус 2) помножити на sin(e у степені x плюс 1) помножити на e у степені x / cos(e у степені x плюс 1)) / cos(e у степені x плюс 1). Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки