Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Послідовності та рядиАлгебраУніверситет≈ 1:59

Обчисліть суму 1/√(n) від n=1 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Ряд розбігається (ознака порівняння з Σ 1/n).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
      Записуємо ряд
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
      Необхідна ознака збіжності
    3. lim⁡n→∞an1/n=∞\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty
      Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом
  3. 3. Відповідь
    ∑n=1∞1n розбігається\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{розбігається}

    comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Перевірка
    • Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обчисліть суму 1/sqrt(n) від n дорівнює 1 до нескінченність. З штрих ясуємо, чи збігається, чи розбігається Σ 1 / sqrt(n) (n від 1 до ∞).

Крок за кроком. Записуємо ряд. Σ a(n) при n дорівнює 1, 2, 3, … де a(n) дорівнює 1 / sqrt(n). Перші члени: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. Необхідна ознака збіжності. lim a(n) дорівнює 0, тому необхідна ознака нічого не вирішує; члени ряду справді спадають, тож потрібна тонша ознака. Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом. Додатні члени: порівняємо натомість з Σ 1/n: lim a(n) помножити на n дорівнює ∞. Границя дорівнює ∞, тому зрештою члени більші за 1/n; цей p-ряд розбігається (p менше або дорівнює 1), отже, цей також.

Відповідь. Отже, відповідь: Ряд розбігається (ознака порівняння з Σ 1/n). Ряд збігається, якщо його часткові суми прямують до скінченного числа. Для цього члени ряду мають прямувати до 0, але самого цього недостатньо (гармонічний ряд розбігається), тому для відповіді застосовується ознака порівняння, ознака Д штрих Аламбера, радикальна ознака Коші, ознака Лейбніца або інтегральна ознака.

Перевірка. Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ дорівнює 5.0209979, S₁₀₀ дорівнює 18.589604, S₁₀₀₀ дорівнює 61.801009, S₁₀₀₀₀ дорівнює 198.54465.

Схожі уроки

Обчисліть суму 1/√(n) від n=1 до ∞ — покроковий відеоурок