Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:27

Знайдіть lim x→∞ (1 + 2/x)ˣ

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = e² ≈ 7.389056099.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞(1+2x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. lim⁡x→∞(1+2x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+2x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right]}
      Невизначеність 1^∞ — логарифмуємо
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+2x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+2x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Невизначеність 0·∞ — записуємо у вигляді частки
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+2x)1x=lim⁡x→∞−2x22x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{2}{{x}^{2}}}{\frac{2}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    4. lim⁡x→∞−2x22x+1−1x2=lim⁡x→∞22x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{2}{{x}^{2}}}{\frac{2}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x}+1}
      Скорочуємо
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. lim⁡x→∞22x+1=lim⁡t→022t+1=2\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{2\mathrm{t}+1} = 2
      Підставляємо x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+2x)x=e2=e2\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = e^{2} = {e}^{2}
      Потенціюємо результат
  4. 4. Відповідь
    lim⁡x→∞(1+2x)x=e2≈7.389056099\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = {e}^{2} \approx 7.389056099

    lim x→∞ (1 + 2 / x)^x = e² ≈ 7.389056099

  5. 5. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 7.2749544, f(1271.8281) = 7.3774578, f(12718.281) = 7.3878944, f(127182.81) = 7.3889399 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність (1 плюс 2/x) у степені x. Знайдемо границю (1 плюс 2 / x) у степені x при x → ∞.

Кроки, частина 1. Невизначеність 1^∞ — логарифмуємо. Запишемо степінь як e^(показник помножити на ln основи); оскільки eᵘ неперервна, границя дорівнює e у степені границі показника. Невизначеність 0 помножити на ∞ — записуємо у вигляді частки. Переносячи один множник у знаменник у вигляді оберненої величини, перетворюємо 0 помножити на ∞ на 0 поділити на 0 або ∞/∞. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо.

Кроки, частина 2. Підставляємо x дорівнює 1/t (t → 0 у степені плюс ). Потенціюємо результат.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює e у квадраті приблизно 7.389056099. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 7.2749544, f(1271.8281) дорівнює 7.3774578, f(12718.281) дорівнює 7.3878944, f(127182.81) дорівнює 7.3889399, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ (1 + 2/x)ˣ — покроковий відеоурок