Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:19

Знайдіть lim x→∞ x⁴e^(-x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 0.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞x4e−x\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. lim⁡x→∞x4e−x=lim⁡x→∞x4ex\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}}
      Невизначеність 0·∞ — записуємо у вигляді частки
    2. lim⁡x→∞x4ex=lim⁡x→∞4x3ex\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→∞4x3ex=lim⁡x→∞12x2ex\lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    4. lim⁡x→∞12x2ex=lim⁡x→∞24xex\lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. lim⁡x→∞24xex=lim⁡x→∞24xex\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}
      Скорочуємо
    2. lim⁡x→∞24xex=lim⁡x→∞24ex\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→∞24ex=lim⁡x→∞24ex\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}
      Скорочуємо
    4. lim⁡x→∞24ex=0\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = 0
      Обмежений чисельник над необмеженим знаменником
  4. 4. Відповідь
    lim⁡x→∞x4e−x=0\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = 0

    lim x→∞ x⁴ e^(-x) = 0

  5. 5. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність x у степені 4e у степені мінус x. Знайдемо границю x у степені 4 e у степені мінус x при x → ∞.

Кроки, частина 1. Невизначеність 0 помножити на ∞ — записуємо у вигляді частки. Переносячи один множник у знаменник у вигляді оберненої величини, перетворюємо 0 помножити на ∞ на 0 поділити на 0 або ∞/∞. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки).

Кроки, частина 2. Скорочуємо. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Обмежений чисельник над необмеженим знаменником. Чисельник прямує до 24, а знаменник необмежено зростає, тому частка прямує до 0.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 0. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 0, f(1271.8281) дорівнює 0, f(12718.281) дорівнює 0, f(127182.81) дорівнює 0, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ x⁴e^(-x) — покроковий відеоурок