ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:35

Знайдіть lim x→0 (cos(x)-1)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 0.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x}$
2. Крок за кроком
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1}$
  Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
2. $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right)$
  Скорочуємо
3. $\lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right) = -\sin\left(0\right) = 0$
  Безпосередня підстановка
3. Відповідь
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = 0$
lim x→0 (cos(x) - 1) / x = 0
4. Перевірка
- Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = -0.0049999583, f(0.001) = -0.00049999996, f(0.0001) = -0.00005, f(0.00001) = -0.0000050000004 ✓
- Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 0.0049999583, f(-0.001) = 0.00049999996, f(-0.0001) = 0.00005, f(-0.00001) = 0.0000050000004 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (cos(x) мінус 1)/x. Знайдемо границю (cos(x) мінус 1) / x при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 0. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює мінус 0.0049999583, f(0.001) дорівнює мінус 0.00049999996, f(0.0001) дорівнює мінус 0.00005, f(0.00001) дорівнює мінус 0.0000050000004, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 0.0049999583, f(мінус 0.001) дорівнює 0.00049999996, f(мінус 0.0001) дорівнює 0.00005, f(мінус 0.00001) дорівнює 0.0000050000004, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки