ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:56

Знайдіть lim x→1 (x²-1)/(x-1)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 2.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1}$
2. Крок за кроком
1. $\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1}$
  Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
2. $\lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1} 2x$
  Скорочуємо
3. $\lim_{x \to 1} 2x = 2\cdot1 = 2$
  Безпосередня підстановка
3. Відповідь
$\lim_{x \to 1} \frac{{x}^{2}-1}{x-1} = 2$
lim x→1 (x² - 1) / (x - 1) = 2
4. Перевірка
- Чисельні значення справа збігаються: f(1.01) = 2.01, f(1.001) = 2.001, f(1.0001) = 2.0001, f(1.00001) = 2.00001 ✓
- Чисельні значення зліва збігаються: f(0.99) = 1.99, f(0.999) = 1.999, f(0.9999) = 1.9999, f(0.99999) = 1.99999 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 1 (x у квадраті мінус 1)/(x мінус 1). Знайдемо границю (x у квадраті мінус 1) / (x мінус 1) при x → 1.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 1, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 2. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(1.01) дорівнює 2.01, f(1.001) дорівнює 2.001, f(1.0001) дорівнює 2.0001, f(1.00001) дорівнює 2.00001, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(0.99) дорівнює 1.99, f(0.999) дорівнює 1.999, f(0.9999) дорівнює 1.9999, f(0.99999) дорівнює 1.99999, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки