Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:49

Знайдіть lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = ∞.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞x2+1x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→∞x2+1x+1=lim⁡x→∞2x1\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→∞2x1=lim⁡x→∞2x\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to \infty} 2x
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→∞2x=∞\lim_{x \to \infty} 2x = \infty
      Вираз необмежено зростає
    4. Висновок
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→∞x2+1x+1=∞\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \infty

    lim x→∞ (x² + 1) / (x + 1) = ∞

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 126.19841, f(1271.8281) = 1270.8297, f(12718.281) = 12717.281, f(127182.81) = 127181.81 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність (x у квадраті плюс 1)/(x плюс 1). Знайдемо границю (x у квадраті плюс 1) / (x плюс 1) при x → ∞.

Крок за кроком. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Вираз необмежено зростає. При x → ∞ значення необмежено зростають. Висновок. Функція необмежена, тому границя дорівнює +∞ (строго кажучи, границі як дійсного числа не існує; функція розбігається до +∞).

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює ∞. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 126.19841, f(1271.8281) дорівнює 1270.8297, f(12718.281) дорівнює 12717.281, f(127182.81) дорівнює 127181.81, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1) — покроковий відеоурок