ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:25

Знайдіть lim x→0 ln(1+3x)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 3.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}$
2. Крок за кроком
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}$
  Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}$
  Скорочуємо
3. $\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3$
  Безпосередня підстановка
3. Відповідь
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3$
lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3
4. Перевірка
- Числові значення справа: f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955 (немає чіткої тенденції при такій точності)
- Числові значення зліва: f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045 (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 ln(1 плюс 3x)/x. Знайдемо границю ln(1 плюс 3 x) / x при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 3. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює 2.9558802, f(0.001) дорівнює 2.995509, f(0.0001) дорівнює 2.9995501, f(0.00001) дорівнює 2.999955 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює 3.0459207, f(мінус 0.001) дорівнює 3.004509, f(мінус 0.0001) дорівнює 3.0004501, f(мінус 0.00001) дорівнює 3.000045 (немає чіткої тенденції при такій точності).

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки