Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:27

Знайдіть lim x→0 (1-cos(x))/x²

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1/2 ≈ 0.5.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→01−cos⁡(x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→01−cos⁡(x)x2=lim⁡x→0sin⁡(x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{2x}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→0sin⁡(x)2x=lim⁡x→0cos⁡(x)2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→0cos⁡(x)2=lim⁡x→0cos⁡(x)2\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2}
      Скорочуємо
    4. lim⁡x→0cos⁡(x)2=cos⁡(0)2=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{2} = \frac{\cos\left(0\right)}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→01−cos⁡(x)x2=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left( x\right)}{{x}^{2}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (1 - cos(x)) / x² = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Перевірка
    • Числові значення справа: f(0.01) = 0.49999583, f(0.001) = 0.49999996, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000004 (немає чіткої тенденції при такій точності)
    • Числові значення зліва: f(-0.01) = 0.49999583, f(-0.001) = 0.49999996, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000004 (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (1-cos(x))/x у квадраті. Знайдемо границю (1 мінус cos(x)) / x у квадраті при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1 поділити на 2 приблизно 0.5. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює 0.49999583, f(0.001) дорівнює 0.49999996, f(0.0001) дорівнює 0.5, f(0.00001) дорівнює 0.50000004 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює 0.49999583, f(мінус 0.001) дорівнює 0.49999996, f(мінус 0.0001) дорівнює 0.5, f(мінус 0.00001) дорівнює 0.50000004 (немає чіткої тенденції при такій точності).

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (1-cos(x))/x² — покроковий відеоурок