Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:28

Знайдіть lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1/2 ≈ 0.5.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (1.0 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2=lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x=lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    4. lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6=4tan⁡(0)2sec⁡(0)2+2sec⁡(0)4+cos⁡(0)6=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6} = \frac{4 {\tan\left(0\right)}^{2} {\sec\left(0\right)}^{2}+2 {\sec\left(0\right)}^{4}+\cos\left(0\right)}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (tan(x) - sin(x)) / x³ = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Перевірка
    • Числові значення справа: f(0.01) = 0.5000125, f(0.001) = 0.50000013, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000016 (немає чіткої тенденції при такій точності)
    • Числові значення зліва: f(-0.01) = 0.5000125, f(-0.001) = 0.50000013, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000016 (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (tan(x) мінус sin(x))/x у кубі. Знайдемо границю (tan(x) мінус sin(x)) / x у кубі при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1 поділити на 2 приблизно 0.5. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює 0.5000125, f(0.001) дорівнює 0.50000013, f(0.0001) дорівнює 0.5, f(0.00001) дорівнює 0.50000016 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює 0.5000125, f(мінус 0.001) дорівнює 0.50000013, f(мінус 0.0001) дорівнює 0.5, f(мінус 0.00001) дорівнює 0.50000016 (немає чіткої тенденції при такій точності).

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³ — покроковий відеоурок