Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:01

Знайдіть lim x→2 (x³ - 8)/(x - 2)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 12.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→2x3−8x−2\lim_{x \to 2} \frac{{x}^{3}-8}{x-2}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→2x3−8x−2=lim⁡x→23x21\lim_{x \to 2} \frac{{x}^{3}-8}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{3{x}^{2}}{1}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→23x21=lim⁡x→23x2\lim_{x \to 2} \frac{3{x}^{2}}{1} = \lim_{x \to 2} 3{x}^{2}
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→23x2=3⋅22=12\lim_{x \to 2} 3{x}^{2} = 3\cdot{2}^{2} = 12
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→2x3−8x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{{x}^{3}-8}{x-2} = 12

    lim x→2 (x³ - 8) / (x - 2) = 12

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(2.01) = 12.0601, f(2.001) = 12.006001, f(2.0001) = 12.0006, f(2.00001) = 12.00006 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(1.99) = 11.9401, f(1.999) = 11.994001, f(1.9999) = 11.9994, f(1.99999) = 11.99994 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 2 (x у кубі мінус 8)/(x мінус 2). Знайдемо границю (x у кубі мінус 8) / (x мінус 2) при x → 2.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 2, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 12. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(2.01) дорівнює 12.0601, f(2.001) дорівнює 12.006001, f(2.0001) дорівнює 12.0006, f(2.00001) дорівнює 12.00006, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(1.99) дорівнює 11.9401, f(1.999) дорівнює 11.994001, f(1.9999) дорівнює 11.9994, f(1.99999) дорівнює 11.99994, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→2 (x³ - 8)/(x - 2) — покроковий відеоурок