Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Тригонометричні тотожностіТригонометріяСтарша школа≈ 1:15

Чи є cos(x)⁴ - sin(x)⁴ = cos(2x) тотожністю?

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені)..

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    cos⁡(x)4−sin⁡(x)4=cos⁡(2x){\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} = \cos\left(2x\right)
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x
      Виражаємо все через sin x і cos x
    2. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Ліва частина через синус і косинус
    3. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Права частина через синус і косинус
    4. ліва частина−права частина=ND,N=cos⁡4x−sin⁡4x−cos⁡2x+sin⁡2x\text{ліва частина} - \text{права частина} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{4} x - \sin^{4} x - \cos^{2} x + \sin^{2} x
      Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. N=0N = 0
      Замінюємо кожен cos²x на 1 − sin²x і зводимо подібні
    2. Чисельник тотожно дорівнює нулю
  4. 4. Відповідь
    cos⁡(x)4−sin⁡(x)4≡cos⁡(2x){\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} \equiv \cos\left(2x\right)

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Перевірка
    • Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Чи є cos(x) у степені 4 мінус sin(x) у степені 4 дорівнює cos(2x) тотожністю? Доведемо тригонометричну тотожність.

Кроки, частина 1. Виражаємо все через sin x і cos x. Використані тотожності:. Ліва частина через синус і косинус. Права частина через синус і косинус. Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника. Тотожність правильна тоді й лише тоді, коли цей чисельник дорівнює нулю за будь-якого значення змінної.

Кроки, частина 2. Замінюємо кожен cos у квадратіx на 1 мінус sin у квадратіx і зводимо подібні. Чисельник тотожно дорівнює нулю. Після застосування sin у квадраті плюс cos у квадраті дорівнює 1 усі члени взаємно знищилися, тому обидві частини рівні скрізь, де вони визначені.

Відповідь. Отже, відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені). Записавши обидві частини через синус і косинус і замінивши cos у квадраті на 1 мінус sin у квадраті, отримуємо, що різниця частин дорівнює рівно 0, тому cos(x) у степені 4 мінус sin(x) у степені 4 дорівнює cos(2x) виконується для кожного x, за якого обидві частини визначені.

Перевірка. Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Схожі уроки

Чи є cos(x)⁴ - sin(x)⁴ = cos(2x) тотожністю? — покроковий відеоурок