Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Тригонометричні тотожностіТригонометріяСтарша школа≈ 1:30

Чи є cos(2x) = 2cos(x) тотожністю?

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Це не тотожність: дві сторони не рівні для всіх значень..

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    cos⁡(2x)=2cos⁡(x)\cos\left(2x\right) = 2\cos\left( x\right)
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x
      Виражаємо все через sin x і cos x
    2. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Ліва частина через синус і косинус
    3. 2cos⁡x2\cos x
      Права частина через синус і косинус
    4. ліва частина−права частина=ND,N=cos⁡2x−sin⁡2x−2cos⁡x\text{ліва частина} - \text{права частина} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2\cos x
      Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. N=−2sin⁡2x−2cos⁡x+1N = -2\sin^{2} x - 2\cos x + 1
      Замінюємо кожен cos²x на 1 − sin²x і зводимо подібні
    2. Чисельник не дорівнює нулю, тому сторони не ідентичні
  4. 4. Відповідь
    cos⁡(2x)≢2cos⁡(x)\cos\left(2x\right) \not\equiv 2\cos\left( x\right)

    LHS − RHS numerator = -2·sin^2(x) - 2·cos(x) + 1

  5. 5. Перевірка
    • При x = 30° ліва сторона ≈ 0.5, але права сторона ≈ 1.732050808.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Чи є cos(2x) дорівнює 2cos(x) тотожністю? Доведемо тригонометричну тотожність.

Кроки, частина 1. Виражаємо все через sin x і cos x. Використані тотожності:. Ліва частина через синус і косинус. Права частина через синус і косинус. Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника. Тотожність правильна тоді й лише тоді, коли цей чисельник дорівнює нулю за будь-якого значення змінної.

Кроки, частина 2. Замінюємо кожен cos у квадратіx на 1 мінус sin у квадратіx і зводимо подібні. Чисельник не дорівнює нулю, тому сторони не ідентичні. При x дорівнює 30° ліва сторона приблизно 0.5, але права сторона приблизно 1.732050808.

Відповідь. Отже, відповідь: Це не тотожність: дві сторони не рівні для всіх значень. Різниця сторін не зводиться до 0. При x дорівнює 30° ліва сторона приблизно 0.5, але права сторона приблизно 1.732050808. Рівняння все ще може бути правильним для певних значень; розв штрих яжіть його як рівняння, щоб знайти їх.

Перевірка. При x дорівнює 30° ліва сторона приблизно 0.5, але права сторона приблизно 1.732050808.

Схожі уроки

Чи є cos(2x) = 2cos(x) тотожністю? — покроковий відеоурок