Тригонометричні тотожностіТригонометріяСтарша школа≈ 1:15

Чи є sin(x)² + cos(x)² = 1 тотожністю?

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені)..

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
${\sin\left( x\right)}^{2}+{\cos\left( x\right)}^{2} = 1$
2. Кроки, частина 1
1. Виражаємо все через sin x і cos x
2. $1$
  Ліва частина через синус і косинус
3. $1$
  Права частина через синус і косинус
4. $\text{ліва частина} - \text{права частина} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
  Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника
3. Кроки, частина 2
1. $N = 0$
  Замінюємо кожен cos²x на 1 − sin²x і зводимо подібні
2. Чисельник тотожно дорівнює нулю
4. Відповідь
${\sin\left( x\right)}^{2}+{\cos\left( x\right)}^{2} \equiv 1$
LHS − RHS reduces to 0
5. Перевірка
- Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Чи є sin(x) у квадраті плюс cos(x) у квадраті дорівнює 1 тотожністю? Доведемо тригонометричну тотожність.

Кроки, частина 1. Виражаємо все через sin x і cos x. Вираз уже містить лише синус і косинус. Ліва частина через синус і косинус. Права частина через синус і косинус. Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника. Тотожність правильна тоді й лише тоді, коли цей чисельник дорівнює нулю за будь-якого значення змінної.

Кроки, частина 2. Замінюємо кожен cos у квадратіx на 1 мінус sin у квадратіx і зводимо подібні. Чисельник тотожно дорівнює нулю. Після застосування sin у квадраті плюс cos у квадраті дорівнює 1 усі члени взаємно знищилися, тому обидві частини рівні скрізь, де вони визначені.

Відповідь. Отже, відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені). Записавши обидві частини через синус і косинус і замінивши cos у квадраті на 1 мінус sin у квадраті, отримуємо, що різниця частин дорівнює рівно 0, тому sin(x) у квадраті плюс cos(x) у квадраті дорівнює 1 виконується для кожного x, за якого обидві частини визначені.

Перевірка. Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки