Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Тригонометричні тотожностіТригонометріяСтарша школа≈ 1:13

Чи є cot(x) + tan(x) = sec(x)csc(x) тотожністю?

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені)..

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    cot⁡(x)+tan⁡(x)=sec⁡(x)csc⁡(x)\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) = \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
      Виражаємо все через sin x і cos x
    2. 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x}
      Ліва частина через синус і косинус
    3. 1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x}
      Права частина через синус і косинус
    4. ліва частина−права частина=ND,N=cos⁡2x+sin⁡2x−1\text{ліва частина} - \text{права частина} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1
      Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. N=0N = 0
      Замінюємо кожен cos²x на 1 − sin²x і зводимо подібні
    2. Чисельник тотожно дорівнює нулю
  4. 4. Відповідь
    cot⁡(x)+tan⁡(x)≡sec⁡(x)csc⁡(x)\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) \equiv \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Перевірка
    • Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Розшифровка

Задача. Ось задача: Чи є cot(x) плюс tan(x) дорівнює sec(x)csc(x) тотожністю? Доведемо тригонометричну тотожність.

Кроки, частина 1. Виражаємо все через sin x і cos x. Використані тотожності:. Ліва частина через синус і косинус. Права частина через синус і косинус. Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника. Тотожність правильна тоді й лише тоді, коли цей чисельник дорівнює нулю за будь-якого значення змінної.

Кроки, частина 2. Замінюємо кожен cos у квадратіx на 1 мінус sin у квадратіx і зводимо подібні. Чисельник тотожно дорівнює нулю. Після застосування sin у квадраті плюс cos у квадраті дорівнює 1 усі члени взаємно знищилися, тому обидві частини рівні скрізь, де вони визначені.

Відповідь. Отже, відповідь: Тотожність правильна (для кожного значення, при якому обидві частини визначені). Записавши обидві частини через синус і косинус і замінивши cos у квадраті на 1 мінус sin у квадраті, отримуємо, що різниця частин дорівнює рівно 0, тому cot(x) плюс tan(x) дорівнює sec(x)csc(x) виконується для кожного x, за якого обидві частини визначені.

Перевірка. Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Схожі уроки

Чи є cot(x) + tan(x) = sec(x)csc(x) тотожністю? — покроковий відеоурок