数列与级数代数大学≈ 2:00

计算 n/2ⁿ 从 n=1 到 ∞ 的和

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}$
2. 逐步讲解
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}$
  写出级数
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0$
  通项判别法
3. $L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}$
  比值判别法
4. 数值估计和
3. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{收敛} \approx 2$
ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)
4. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 1.9882813，S₁₀₀ = 2，S₁₀₀₀ = 2，S₁₀₀₀₀ = 2

文字稿

题目. 题目是：计算 n/2 的 n 次方从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ n / 2 的 n 次方 (n 收敛还是发散。

逐步讲解. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 n / 2 的 n 次方。前几项：0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. 通项判别法. lim a(n) 等于 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。比值判别法. 正项：a(n 加 1)/a(n) 化简为 (n 加 1) / 2 / n，当 n → ∞ 时它的极限是 L 等于 1 除以 2。L 小于 1，所以该级数收敛（绝对收敛）。数值估计和. 对若干 N 计算部分和 S N，并外推到 N → ∞（理查森外推；交错项先取相邻部分和的平均）。两次独立外推的差小于 10 的减 10 次方，得到 S 约等于 2。所示的封闭形式只是数值辨识，并非证明。

答案. 所以答案是级数收敛 (比值判别法); 和约等于 2 (匹配 2 精确到10位以上). 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于 1.9882813，S₁₀₀ 等于 2，S₁₀₀₀ 等于 2，S₁₀₀₀₀ 等于 2.

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