积分计算器

选择积分方法

没有哪一种可以手工执行的算法能解决所有积分，所以关键在于识别式子的形式。先利用线性性质：拆开和式，提出常数因子，然后用基本积分表处理幂函数、指数函数、$\frac1x$ 和三角函数。如果被积函数的一部分是另一部分的导数，就试试换元积分法。如果它是两类不同函数的积，例如多项式与指数函数、多项式与正弦函数，就试试分部积分法。有理函数需要拆成部分分式，而 $\frac{1}{x^2 + 1}$ 这样的形式会得到反三角函数。

计算器也大致按这个顺序尝试这些方法，并写出最终成功的那一种，所以它的步骤同时可以作为指南，告诉你下次该选用哪种方法。

换元积分法详解

换元积分法是链式法则的逆用。在 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ 中，内层函数是 $x^2$，它的导数 $2x$ 作为因子出现，所以令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$。积分变为 $\int \cos u\,du = \sin u$，再代回原变量得到 $\sin(x^2) + C$。计算器会显示其中的每一行。如果内层函数的导数只差一个常数倍出现，例如 $x\cos(x^2)$，用 $\frac12$ 调整之后，同样的换元依然适用。

分部积分法与表格法

分部积分法是积的求导法则的逆用：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$。选取求导后会变简单的因子作为 $u$，通常是多项式；选取容易积分的因子作为 $dv$。当 $u$ 是 $n$ 次多项式时，重复这一过程 $n$ 次就能把它降为零，表格法用两列来整理这些重复的步骤。这就是例题只需两行就完成的原因：$x$ 的导数是 1，再求导就是 0。

定积分与积分限

填写下限和上限，问题就变成定积分。计算器先求出一个原函数，再应用微积分基本定理：对于 $\int_0^3 x^2\,dx$，它取 $F(x) = \frac{x^3}{3}$，并计算 $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$。积分限可以是 pi/2 这样的式子。如果你只需要数值，专门的定积分计算器在没有初等原函数时也能用数值方法求出面积。

没有初等原函数的情形

有些看起来很简单的函数，例如 $e^{x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 和 $\sqrt{1 + x^3}$，它们的原函数无法用多项式、根式、指数函数、对数函数和三角函数的有限组合写出来。这是已被证明的事实，并不是技巧上的欠缺。对于这类输入，计算器会说明它没有找到原函数，而不是编造一个；在具体区间上的定积分仍然可以用数值方法计算。

例如，定积分计算器以数值方式算出 $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$，并把结果注明为近似值。

积分常数为什么重要

由于任何常数的导数都是零，$\frac{x^3}{3}$、$\frac{x^3}{3} + 5$ 和 $\frac{x^3}{3} - 2$ 的导数都是 $x^2$。它们的图像彼此只是上下平移，而 $+ C$ 记录的就是这一整族函数。当你有额外的信息（称为初始条件）时，常数就被确定下来。如果速度是 $v(t) = 2t$，并且时刻 0 的位置是 4，积分得到 $s(t) = t^2 + C$，而 $s(0) = 4$ 迫使 $C = 4$。在定积分中，常数在 $F(b) - F(a)$ 中互相抵消，所以它从不出现在数值答案里。

有向面积与总面积

定积分把 x 轴上方的面积记为正，下方的面积记为负。在一个完整周期上，$\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$，尽管曲线围成的面积是正的：轴上方的拱形和轴下方的凹陷恰好抵消。如果题目要求曲线与坐标轴之间的总面积，就找出函数变号的位置，分段积分，再把各段的绝对值相加。对于 $[0, 2\pi]$ 上的 $\sin x$，结果是 $2 + 2 = 4$。

运动问题中也有同样的区别。对速度积分得到的是位置的净变化，而对速率（即速度的绝对值）积分得到的是经过的总路程。

如何阅读步骤

每一步展示积分的一次变换，标题中写出所用的法则或积分表条目，下方是公式。线性性质的步骤把问题拆成若干较小的积分，逐个求解后再合并，所以较长的被积函数会产生一串较短的步骤，而不是一次大跨越。使用换元时，引入 $u$ 的那一行同时显示 $du$，从中可以看出这种方法为什么适用。最后一步对不定积分总是加上积分常数，对定积分则是代入上下限。