泰勒级数计算器

系数从何而来

设多项式 $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ 要在 $a$ 处与 $f$ 吻合。令 $x = a$，除 $c_0$ 外的每一项都变为零，所以 $c_0 = f(a)$。求一次导再令 $x = a$，剩下 $c_1 = f'(a)$。求两次导，剩下 $2c_2 = f''(a)$；一般地，$k!\,c_k = f^{(k)}(a)$。

这就是全部的推导，它也解释了阶乘的由来：当 $(x - a)^k$ 被求导 $k$ 次时，会累积出一些常数，阶乘正好把它们抵消。计算器把这些内容显示成一张表，对每个 $k$ 列出 $f^{(k)}(a)$ 和 $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$，这和你手工制作的表完全一样。

标准级数中的规律

对于在 0 处展开的 $\sin x$，各阶导数依次循环为 $\sin, \cos, -\sin, -\cos$，它们在 0 处的值是 $0, 1, 0, -1$。所有偶次幂的系数都为零，7 阶多项式是 $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$。余弦则只给出偶次幂：展开到 4 阶是 $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$。

对于在 1 处展开的 $\ln x$，第 $k$ 阶导数是 $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$，所以系数为 $\pm\frac1k$，级数为 $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$。认出这些规律，许多级数就可以直接写出来而完全不必求导，还可以代入这些级数，例如在 $e^x$ 的级数中把 $x$ 换成 $-x^2$。

近似有多准确？

泰勒定理给出了误差的界。余项 $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ 对 $a$ 与 $x$ 之间的某个 $c$ 等于 $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$。有两个因素使它变小：一是离中心近，使 $(x - a)^{n+1}$ 很小；二是分母中的阶乘，它最终会超过任何幂。

平方根的例子体现了第一个因素。$\sqrt{x}$ 在 4 处展开的 3 阶多项式是 $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$。在 $x = 4.1$ 处，它给出约 2.024845703，而真实值是 2.024845673，误差约为 $3\times10^{-8}$，因为 $0.1^4$ 已经非常小了。

远离中心时，情况就不同了。对于 $\frac{1}{1-x}$，多项式在 $x = 0.1$ 处吻合得很好，但在 $x = 2$ 处毫无用处，因为该级数只在 $|x| < 1$ 时收敛。在 $x = 2$ 处，5 阶多项式给出 63，而函数值等于 $-1$，误差为 64，并且每多加一项误差就更大。计算器的误差报告能让这一点一目了然：对同一个函数、同样的阶数，分别在近处和远处的点上试一试，再加以比较。

选择展开中心

选择一个函数及其各阶导数都容易计算、并且靠近你需要近似的位置的点作为中心。把 $\sqrt{x}$ 在 4 处展开很自然，因为 $\sqrt4 = 2$ 恰好是精确值。$\ln x$ 不可能在 0 处展开，因为函数在那里无定义；$|x|$ 在 0 处展开也会失败，因为它在该点不可导。遇到这类情况，计算器会加以说明，而不会给出一个毫无意义的多项式。

泰勒多项式的实际应用

小角度近似 $\sin\theta \approx \theta$ 不过是正弦函数的 1 阶麦克劳林多项式；对于小于约 14 度的角，它的误差小于 1%。单摆的周期公式、光学中的近轴近似和线性的弹簧定律，都来自只保留泰勒展开的前一两项。

泰勒多项式还能把难题变成易题。像 $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ 这样的极限，只要把 $\cos x$ 换成 $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$，答案就一目了然；而像 $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ 这样没有初等原函数的积分，可以通过对多项式逐项积分来近似。