级数敛散性计算器：比值、根值与比较判别法

关于级数敛散性计算器

判断一个无穷级数是否收敛，关键在于选对判别法。微积分课程至少会讲其中七种：通项判别法、等比级数、p 级数、比较判别法与极限比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法以及交错级数判别法。每一种对某些级数非常有效，对另一些级数却完全无能为力，难就难在知道该用哪一种。

这个计算器按照固定而合理的顺序使用这些判别法，并报告第一个给出确定结论的判别法。它能识别等比级数并精确求和，检查各项是否趋于零，处理正负交替的符号；对于正项级数，它依次尝试比值判别法、根值判别法、与 p 级数比较、柯西凝聚判别法和积分判别法。所需的每个极限都由极限引擎计算，而极限引擎会用数值方法自我验证。

当某个判别法依赖一个无法用符号方法证明的性质时，例如各项最终单调递减，计算器会在许多样本下标上检验这一性质，并如实说明。如果没有哪种判别法能得出结论，它会告诉你尝试过哪些判别法，而不会猜测。对于交错级数，它还会区分绝对收敛与条件收敛。

级数收敛是什么意思？

无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是无穷多项之和。为了赋予它意义，要考察部分和 $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ 。如果当 $N$ 增大时它们趋于一个有限的极限 $S$ ，级数就收敛，其和为 $S$ 。如果它们无限增大或者不停振荡，级数就发散。

收敛之所以微妙，是因为它取决于各项减小得有多快，而不只是是否减小。 $\sum \frac1n$ 的各项趋于零，但部分和会超过任何数，所以调和级数发散。 $\sum \frac{1}{n^2}$ 的各项只是减小得稍快一点，这个级数就收敛于 $\frac{\pi^2}{6}$ 。

对于大多数级数，不必求出和就能判断敛散性，而且它们的和往往本来就没有简单的闭合形式。等比级数是主要的例外：只要公比满足 $|r| < 1$ ，和就是 $\frac{a}{1-r}$ ，其中 $a$ 是首项。

如何使用级数敛散性计算器

用 n 作下标输入通项，例如 1/n^2、(-1)^(n+1)/n 或 2^n/n!。
支持阶乘（n!）、幂、根式、用 log 表示 ln 的对数，以及 (−1)^n。
输入起始下标，即求和中 n 的第一个值。默认值为 1。
点击“判断敛散性”，即可看到使用了哪些判别法、计算出的极限以及结论。
对于等比级数，可以从最后一行读出精确的和。

公式

等比级数

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

通项判别法

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ 发散}

p 级数

\sum \frac{1}{n^p} \text{ 收敛} \iff p > 1

比值判别法

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ 收敛},\ L > 1 \text{ 发散}

根值判别法

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ 收敛},\ L > 1 \text{ 发散}

交错级数判别法

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ 收敛}

例题详解: p 级数 Σ 1/n²

下面的例题实时计算 p 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 。各项趋于 0，所以通项判别法无法得出结论。计算器接着估计各项减小的速度，并与 $\frac{1}{n^2}$ 比较；比值的极限是 1，一个有限的正数。

根据极限比较判别法，该级数的敛散性与 $p = 2$ 的 p 级数完全相同，而后者因为 $p > 1$ 而收敛。结论是该级数收敛。它的和 $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ 由欧拉在 1734 年求出，但不知道这个和也能判定收敛。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{收敛} \approx 1.644934067

我们对题目的理解

判断从 1 到 ∞) 的 Σ 1 / n² (n 收敛还是发散。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

分步解答

写出级数
Σ a(n)，其中 n = 1, 2, 3, …，a(n) = 1 / n^2。前几项：1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
通项判别法
lim a(n) = 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
与 p 级数作极限比较
正项：各项大致按 1/n^2 的速度减小（由 a(2N)/a(N)) 估计，所以与 Σ 1/n^2 比较：lim a(n)·n^2 = 1。该极限是一个有限的正数，所以该级数的敛散性与 p 级数 Σ 1/n^2 完全相同，而后者收敛，因为 p > 1。
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
数值估计和
对若干 N 计算部分和 S_N，并外推到 N → ∞（理查森外推；交错项先取相邻部分和的平均）。两次独立外推的差小于 10⁻¹⁰，得到 S ≈ 1.644934067。所示的封闭形式只是数值辨识，并非证明。

所用公式

通项（发散）判别法
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ 发散}$
p 级数
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ 收敛} \iff p > 1$

当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

验算

部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 1.5497677，S₁₀₀ = 1.6349839，S₁₀₀₀ = 1.6439346，S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

详细讲解

先做快速判别

有两项检查应当总是放在最前面，因为它们很快。如果级数是等比级数，公比 $r$ 决定一切：当 $|r| < 1$ 时它收敛，并且可以立即得到和。对于 $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ ，首项是 $a = -2$ ， $r = -\frac23$ ，所以和为 $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ 。

接下来是通项判别法。如果各项不趋于零，级数必定发散，因为你在不停地加上始终保持一定大小的量。 $\sum \frac{n}{n+1}$ 就是这样发散的，因为它的各项趋于 1。要注意逆命题不成立：各项趋于零并不能保证收敛，调和级数就是例子。

比值判别法与根值判别法

比值判别法把每一项与前一项进行比较。如果比值 $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 趋于一个极限 $L < 1$ ，那么各项最终至少像一个收敛的等比级数那样快地减小，所以级数收敛。如果 $L > 1$ ，各项增大，级数发散。如果 $L = 1$ ，该判别法无法得出结论。

对于含阶乘和指数的级数，它是自然的选择。对于 $\sum \frac{2^n}{n!}$ ，比值化简为 $\frac{2}{n+1}$ ，它趋于 0，所以级数收敛。根值判别法基于 $\sqrt[n]{|a_n|}$ ，与之类似，最适合整个通项被 n 次幂作用的情形。对于 p 级数和 $n$ 的有理函数，这两种判别法总是给出 $L = 1$ ，所以那里需要别的工具。

与 p 级数比较

对于表现得像 $n$ 的幂的项，就与 $\sum \frac{1}{n^p}$ 比较，它恰好在 $p > 1$ 时收敛。极限比较判别法指出：如果 $\frac{a_n}{b_n}$ 趋于一个有限的正数，两个级数的敛散性相同。计算器根据 $n$ 加倍时各项的变化估计出合适的 $p$ ，再精确地计算这个极限。

因此， $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 通过与 $\sum \frac1n$ 比较可知发散，而 $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ 绝对收敛，因为 $|\sin n| \le 1$ 意味着它的各项不超过 $\frac{1}{n^2}$ 。

含对数的级数：凝聚判别法与积分判别法

含对数的级数，例如 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ ，恰好处在比值判别法、根值判别法和简单比较判别法都失效的边界上。柯西凝聚判别法可以处理它们：对于正的递减项， $\sum a_n$ 收敛当且仅当 $\sum 2^n a_{2^n}$ 收敛。这里凝聚后的级数各项约为 $\frac{1.4427}{n}$ ，是调和级数的倍数，所以原级数发散。

积分判别法通过把和与 $\int f(x)\,dx$ 比较，得出同类的结论，其中 $f(n) = a_n$ 为正且递减。这两种方法都显示出级数可以发散得多么缓慢： $\sum \frac{1}{n \ln n}$ 的部分和按 $\ln(\ln N)$ 的速度增长，即使加到十亿项也仍小于 4。

交错级数与条件收敛

当符号正负交替时，相互抵消会起作用。交错级数判别法指出：如果绝对值 $b_n$ 单调递减并趋于零，级数就收敛。交错调和级数 $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ 由这一判别法可知收敛于 $\ln 2$ ，尽管 $\sum \frac1n$ 发散。

这种情形称为条件收敛。如果绝对值组成的级数也收敛，例如 $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ ，那么收敛就是绝对的，这是更强的性质：绝对收敛的级数重新排列后和不变，而条件收敛的级数则不然。计算器会报告你遇到的是哪一种。

常见错误

因为各项趋于零就断定级数收敛。
把比值判别法或根值判别法中的 $L = 1$ 当作结论；它表示该判别法无法得出结论。
下标从 1 而不是从 0 开始时，用错了等比级数的首项。
没有检查绝对值是否递减就使用交错级数判别法。
把数列 $a_n$ 的收敛与级数 $\sum a_n$ 的收敛混为一谈。
比较的方向弄错，例如用一个发散级数作为上界。

小贴士

先做通项判别法；它能立即判定许多发散级数。
只要看到阶乘或 $c^n$ ，就用比值判别法。
对于 $n$ 的有理函数，比较次数即可：级数的表现与 $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ 相同。
出现对数时，使用凝聚判别法或积分判别法。
对于交错级数，还要检验是否绝对收敛，这样才能说明是哪一种收敛。
用数值写出前几个部分和，感受一下它们是否在趋于稳定。

常见问题

计算器使用哪种判别法？

它按顺序尝试：等比级数、通项判别法、交错级数判别法；对于正项级数，再依次尝试比值判别法、根值判别法、与 p 级数作极限比较、柯西凝聚判别法和积分判别法。报告的是第一个得出结论的判别法。

能求出级数的和吗？

对于等比级数，它会给出精确的和，例如从 n = 1 开始的 Σ 3(−2/3)ⁿ 的和是 −6/5。对于其他级数，它只判断敛散性，因为大多数收敛级数的和没有简单的闭合形式。

调和级数的各项趋于零，为什么它还发散？

因为各项减小得太慢。按 1/2、然后 1/3 + 1/4 > 1/2、然后 1/5 + … + 1/8 > 1/2 这样分组，可以看出部分和每次至少增加 1/2，所以会无限增大。

绝对收敛和条件收敛有什么区别？

如果 |aₙ| 的和收敛，级数就绝对收敛。如果级数只是因为正负抵消才收敛，例如交错调和级数，它就是条件收敛。

怎样输入阶乘和交错的符号？

阶乘写作 n!，交错符号写作 (-1)^n 或 (-1)^(n+1)，例如 (-1)^(n+1)/n 或 2^n/n!。自然对数用 log(n) 表示。

起始下标会影响敛散性吗？

不会。改变求和的起点只是增加或去掉有限多项，这会改变和，但绝不会改变是否收敛。不过对于等比级数的和，以及像 1/(n ln n) 这样在 n 较小时无定义的项，起始下标是有影响的。

如果所有判别法都不奏效，会怎样？

计算器会列出它尝试过的判别法，并说明都无法得出结论。它从不猜测。像 sin(n) 这样极限无法确定的振荡项，也会如实报告。

什么是 p 级数？

形如 Σ 1/nᵖ 的级数。它在 p > 1 时收敛，在 p ≤ 1 时发散。它是比较判别法的标准参照，p = 1 时的 Σ 1/n 就是调和级数。

为什么比值判别法对 1/n² 失效？

比值 n²/(n + 1)² 趋于 1，这正是无法得出结论的情形。每个 p 级数都是如此，所以对于这类项，计算器会转而使用比较判别法。

检验你的级数是否收敛

在上方输入通项，即可看到由哪种判别法判定、涉及的每个极限，以及等比级数的精确和。

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