指数计算器

法则为什么成立

同底数幂的乘法其实就是数个数。$a^3 \cdot a^2$ 是三个 $a$ 相乘，再乘以另外两个，一共五个，所以是 $a^5$。同底数幂的除法就是约分：在 $\frac{a^5}{a^2}$ 中，约去两个，剩下三个。

零指数和负指数的定义是由除法法则决定的。因为 $\frac{a^3}{a^3} = 1$，而法则给出 $a^0$，所以必须有 $a^0 = 1$。同样，$\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$，它又等于 $\frac{1}{a^3}$，所以 $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$。

分数指数与开方

因为 $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$，所以 $a^{1/n}$ 必定是 $a$ 的 $n$ 次方根。当根是有理数时，计算器给出精确结果，例如 $32^{3/5} = 8$；否则保留精确的根式形式，而不是四舍五入的小数。

对于负的底数，奇次方根是实数，所以 $(-8)^{1/3} = -2$；但偶次方根不是实数：$(-4)^{1/2}$ 没有实数值。计算器会如实说明这一点，而不是给出误导性的结果。

化简单项式

化简 $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ 这样的表达式时，先用积的乘方：$(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$。然后系数相除，并逐个变量把指数相减：$4/4 = 1$，$x^{6-(-1)} = x^7$，$y^{2-5} = y^{-3}$。最后把负指数改写为倒数，得到 $\frac{x^7}{y^3}$。

代数课之外的指数

凡是按固定倍数增长或减少的量，都可以用指数描述。年利率 5% 的存款在 $t$ 年后变为原来的 $1.05^t$ 倍，每个周期翻一番的种群按 $2^t$ 增长，有半衰期的放射性样品按 $\left(\tfrac12\right)^t$ 衰减。科学记数法，例如 $6.02 \times 10^{23}$，用十的幂简洁地表示非常大和非常小的数。

在每种情况下，适用的都是同样的法则。先增长两年、再增长三年，就是 $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$；而达到目标金额所需的时间，要用对数“撤销”指数来求，对数计算器会分步完成这一过程。