如何一步步化简代数式

“化简”究竟是什么意思

像 $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ 这样的表达式没有等号，所以没有什么需要求解的。化简它，就是找到一个等价的表达式——对每个允许的 $x$ 都给出相同的值——并且更简短、更好用。这里的结果是 $4x - 7$。

“等价”是关键词。每一步都必须是有效的代数法则，而不是碰巧看起来更整洁的猜测。一个有用的检验方法是代入一个值：当 $x = 2$ 时，原式给出 $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$，而 $4(2) - 7 = 1$ 也一样。在一个点上相等并不能证明两个表达式等价，但只要不相等，就证明出了错。

合并同类项

同类项含有完全相同的字母，并且相同字母的指数也完全相同；只有系数可以不同。$3x^2$ 和 $-7x^2$ 是同类项。$3x^2$ 和 $3x$ 不是，$xy$ 和 $x^2y$ 也不是。

合并同类项时，把系数相加，字母部分保持不变：

合并之前，先给每组同类项画线或标上颜色，并让每一项带着自己的符号。在 $4x + 3y - x$ 中，这一项是 $-x$，而不是 $x$。

分配律与去括号

分配律 $a(b + c) = ab + ac$ 用来去掉括号。括号外的因数要乘以括号内的每一项，而括号前的负号相当于因数 $-1$。

• $-2(x - 4) = -2x + 8$，因为 $-2 \times -4 = +8$。
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$。
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$：用第一个括号中的每一项乘以第二个括号中的每一项。
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$，而不是 $4x^2 + 9$。

把和的平方逐项平方，例如写成 $(a + b)^2 = a^2 + b^2$，是最常见的代数错误之一。正确的恒等式是 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

指数法则

幂的乘积和商可以用一组简短的法则来化简，这些法则对任何非零的底数都成立：

如果你想检查一个较长的表达式，指数计算器会逐条应用这些法则。

化简代数分式

化简分式时，先把分子和分母完全因式分解，再约去两者共有的因式。只能约去因式，绝不能约去相加的项。

尽管 $(x + 3)$ 已经不再出现，限制条件 $x \neq -3$ 仍然必须保留，因为原式在该点没有定义。分式相加时，要先通分：

如果卡在因式分解上，多项式因式分解指南介绍了这里用到的所有方法，分式计算器会逐步展示约分过程。

化简平方根

对于非负的 $a$ 和 $b$，利用 $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ 把完全平方因数提到根号外。然后像合并同类项一样合并同类根式。

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，所以 $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$。
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$。
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，它不等于 $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$。开方不能对加法拆开。

合理的化简顺序

1. 用分配律去括号，注意负号。
2. 对乘积、商和乘方应用指数法则。
3. 合并同类项。
4. 对于分式，完全因式分解后约去公因式，并保留限制条件。
5. 按标准顺序写出结果，通常按降幂排列：$3x^2 - x + 4$。
6. 把一个简单的值分别代入原式和结果，进行抽查。

会改变值的错误

• 约去的是项而不是因式：$\frac{x + 6}{x + 3}$ 既不等于 $2$，也不等于 $\frac{6}{3}$。
• 只把负号分配给第一项。
• 不同底数相乘时把指数相加：$x^2 y^3$ 不能合并成一个幂。
• 写出 $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ 或 $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$。
• 约分后丢掉了定义域的限制条件。

把任意表达式粘贴到化简计算器中，将它的步骤与你的进行对比。表达式化简之后，解相关的方程就容易多了；参见如何解一元一次方程。

一道较长的例题

实际的练习题通常会综合运用上面的几条法则。仔细做一道题，就能看出步骤的顺序如何让表达式保持可控。

注意，$(x + 1)^2$ 前面的减号是在括号内的平方展开之后才处理的。先展开，再把负号分配给每一项，正是这样才避免了经典的符号错误。

怎样才算完全化简？

老师和教材对最终答案有几条共同的约定。一个表达式通常被认为已经完全化简，需要满足：没有可以再展开的括号（除非题目要求因式分解的形式）；没有同类项；没有负指数或零指数；分式的分子和分母没有公因式；根号内没有完全平方因数；分母中没有根号。

最后一条通过分母有理化来处理。要把 $\frac{6}{\sqrt{3}}$ 的分母有理化，就把分子和分母同时乘以 $\sqrt{3}$，得到 $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。两种形式的值相同，约为 $3.464$，但第二种是约定俗成的最终形式。

有时最简形式取决于用途。展开式 $x^2 - 3x - 10$ 便于读出系数，而因式分解形式 $(x + 2)(x - 5)$ 能直接看出零点。如果练习题没有说明需要哪种形式，两者是等价的，但大多数老师对多项式的和期望展开形式，对分式期望因式分解并约分后的形式。

如果两个看起来不同的答案在两三个值处都通过了代入检验，它们几乎可以肯定是同一个表达式的两种写法。

含多个字母的化简

含有多个字母的表达式遵循完全相同的法则，但更容易漏掉某些项。合并之前先按字母部分对各项分类会有帮助。在 $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$ 中，同类项分为 $a^2b$ 项、$ab^2$ 项和 $ab$ 项三组。分别合并每组，得到 $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$。剩下的每一项字母部分都不同，所以不能再合并，但每一项都有公因式 $ab$，因此这个表达式也可以写成 $ab(2a + 2b + 5)$。

在每一项中按字母顺序书写字母，例如把 $ba$ 写成 $ab$，能让同类项更容易辨认。这也是最终答案中常见的约定。

常见问题