分式计算器：化简、加减与除法

关于分式计算器

代数分式（有理式）是分子和分母都是多项式的分式，例如 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ 。它们的性质与普通分数相同，所以你所知道的约分、通分和除以分数的方法依然适用。不同之处在于，现在要分解的是多项式，而且必须记下哪些 $x$ 值会使分母为零。

这个计算器可以对一元代数分式进行五种运算：化简、加法、减法、乘法和除法。它在有理数范围内分解每个分子和分母，需要时构造最简公分母，约去公因式，并给出最终答案须排除的值，而这一点在许多解答中都被遗忘了。

什么是代数分式？

代数分式是两个多项式之商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，其中 $Q$ 不是零多项式。在 $Q(x) = 0$ 的地方它没有定义，所以它的定义域是除分母的根以外的全体实数。

如果两个代数分式在两者都有定义的每一点上取值相同，它们就是等价的。化简就是用一个等价的最简分式代替原式，使分子和分母没有公因式。由于约分可能去掉分母中的某个因式，原式须排除的值必须明确地保留下来。

如何使用分式计算器

选择化简、加、减、乘或除。
在 A 中输入第一个式子，分子和分母都要加括号，例如 (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6)。
对于四种算术运算，在 B 中输入第二个式子，例如 2/(x + 1)。
点击“计算”，按步骤查看因式分解、通分和约分。
复制结果时连同须排除的值一起复制。

公式

约分

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

同分母相加

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

乘法

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

除法

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

例题详解: 化简 (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

例题把 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ 化为最简形式。引擎识别出分子是平方差，分母是可分解的三项式，所以分子分母有公因式 $x + 3$ 。

约分之后，引擎列出两个须排除的值： $-3$ 和 $-2$ 。值 $-3$ 已不再使化简后的分母为零，但它在原式中是被排除的，所以仍须排除。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\frac{x - 3}{x + 2}

我们对题目的理解

把分式化简为最简形式。

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

分步解答

写成一个分式
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
对分子和分母进行因式分解
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
约去公因式
因式 x + 3 同时出现在分子和分母中。在原式有定义的地方，约去它不会改变表达式的值。
$\frac{x - 3}{x + 2}$
指出需排除的值
任何分母（或除数）为零的地方，原式都没有定义：x ≠ -3, x ≠ -2。即使某个因式被约去，这些限制依然保留。

所用公式

约分
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

最简形式的结果为 (x - 3)/(x + 2)。需排除的值：x ≠ -3, x ≠ -2。

验算

在四个检验点上把化简后的形式与原式比较，结果一致。

详细讲解

加法与减法

代数分式相加时，要先把它们化为同分母。最简公分母是各分母中所有不同因式的乘积，每个因式取它出现过的最高次幂。对于 $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ ，最简公分母是 $(x - 1)(x + 1)$ ；每个分子乘以它的分母所缺的因式，得到 $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ 。

减法也按同样的方式进行，但要减去整个第二个分子，所以在分配负号之前先给它加上括号。合并之后，把新的分子因式分解，看看能否与最简公分母约分。

乘法与除法

乘法不需要通分。先把所有部分因式分解，约去在任一分子和任一分母中都出现的因式，再把剩下的部分相乘。先约分再相乘，可以让多项式保持简单。

做除法时，乘以第二个式子的倒数。这会增加一个新的限制：除式的分子不能为零，因为颠倒之后它成了分母。 $\frac{x}{x + 2}$ 除以 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 得 $\frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x \neq -2$ 和 $x \neq 1$ 都须排除。

为什么须排除的值很重要

须排除的值并非可有可无。 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ 的图像看起来与 $\frac{x - 3}{x + 2}$ 的图像一样，但它在 $x = -3$ 处有一个空洞，在 $x = -2$ 处有一条竖直渐近线。解含有代数分式的方程时，等于须排除值的候选解是增根，必须舍去。

常见错误

约去的是项而不是因式，例如在 $\frac{x + 2}{x}$ 中划掉 $x$ 。
把分子和分母分别相加： $\frac1x + \frac1y$ 不等于 $\frac{2}{x + y}$ 。
做减法时忘记把负号分配到整个第二个分子上。
约去公因式后丢掉了须排除的值。
做除法时颠倒了第一个分式，而不是第二个。

小贴士

在做其他任何事情之前，先把每个分子和分母彻底因式分解。
把最简公分母写成因式分解的形式；过早乘开会让约分更困难。
约分之前，从每个分母（包括除式的分子）中收集须排除的值。
把 $x = 5$ 这样的值分别代入原式和化简后的式子，检验结果。
用定义域和值域计算器查看结果的完整定义域。

常见问题

怎样化简代数分式？

把分子和分母彻底因式分解，约去它们的公因式，并把使原分母为零的 x 值作为须排除的值写出来。

什么是须排除的值？

使某个分母为零的变量值，在这些值处式子没有定义。原式须排除的值在化简之后仍须排除。

怎样求最简公分母？

把每个分母因式分解，再把所有不同的因式相乘，每个因式取它在任一分母中出现过的最高次幂。

为什么不能约去 (x + 2)/x 中的 x？

在分子中，x 是一个相加的项，而不是整个分子的因式。只有同时乘在整个分子和整个分母上的因式才能约去。

怎样做代数分式的除法？

用第一个式子乘以第二个式子的倒数，然后因式分解并约分。第二个式子的分子会带来新的须排除的值，因为它变成了分母。

计算器能处理多个变量吗？

这个计算器处理一元代数分式。对于多元的多项式表达式，请使用化简计算器。

空洞和渐近线有什么区别？

当一个因式从分子和分母中同时约去时，就会出现空洞。当化简后一个因式仍留在分母中时，就会出现竖直渐近线。

化简或合并你的代数分式

在上方输入一个或两个代数分式，即可看到因式分解、公分母和须排除的值。

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