对数详解：定义、运算法则与解方程

什么是对数

指数和对数是描述同一关系的两种方式。$2^3 = 8$ 表示 2 的 3 次方等于 8。对数把问题反过来问：2 要取几次方才能得到 8？答案是 3，记作 $\log_2 8 = 3$。

其中 $b$ 是底数，$x$ 是真数，$y$ 是要求的指数。这些条件很重要。底数必须为正且不等于 1，因为 1 的任何次方都是 1，而负数的幂并非对所有实数指数都有定义。真数必须为正，因为正底数的任何实数次方都是正数。

• $\log_{10} 1000 = 3$，因为 $10^3 = 1000$。
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$，因为 $5^{-2} = \frac{1}{25}$。
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$，因为 $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$。
• 对任何允许的底数都有 $\log_7 1 = 0$ 这样的结果，因为 $b^0 = 1$；而 $\log_b b = 1$，因为 $b^1 = b$。

有两种底数有专门的记号。常用对数 $\log x$ 以 10 为底，适合以十的幂来衡量的量。自然对数 $\ln x$ 以 $e \approx 2.71828$ 为底，它在增长、衰减和微积分中自然出现。有些教材和编程语言用 $\log$ 表示自然对数，所以请确认你所学课程的约定。

对数的三条运算法则

由于对数就是指数，指数法则可以直接转化为对数法则。对于正数 $M$、$N$ 和任何允许的底数：

积的法则来自 $b^m b^n = b^{m+n}$：数相乘时指数相加，所以对数也相加。商的法则来自幂的相除，幂的法则来自 $(b^m)^k = b^{mk}$。在计算器出现之前，人们正是因此使用对数表：它把困难的乘法变成了加法。

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$，而确实有 $128 = 2^7$。
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$。
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$。
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$。

展开与合并对数式

展开是利用运算法则把一个对数拆成更简单的几部分；合并则是把几个对数组合成一个。两者都是考试中的常见题型，解方程时也都用得到。

合并之前，系数必须先变成指数。$2\ln x + \ln y$ 等于 $\ln(x^2 y)$，而不是 $\ln(2xy)$。

换底公式

计算器通常只有 $\log$ 和 $\ln$ 两个按键。其他底数要用换底公式来处理，新底数 $c$ 可以任意选取：

例如，$\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$。合理性检验很有帮助：$2^3 = 8$，$2^4 = 16$，所以答案一定在 3 和 4 之间。这个公式还表明 $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$，因此由 $\log_2 8 = 3$ 可得 $\log_8 2 = \frac{1}{3}$。

解指数方程

当未知数在指数上时，先把幂单独移到一边，再对两边取对数，这样就能用幂的法则把指数“拿下来”。

例 2 中一个常见失误是在除以 5 之前就取对数。严格来说这并不算错，但会得到 $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$，求解要花更长时间。先把幂单独分离出来，能让过程保持简洁。

解对数方程

当未知数在对数里面时，先把几个对数合并成一个，再把方程改写成指数形式。由于零和负数的对数没有定义，每个候选解都必须代回原方程检验。

例 3 的代数运算得到了一个二次方程。如果需要复习解法，请参阅如何解一元二次方程。

对数函数的图像

函数 $y = \log_b x$ 是 $y = b^x$ 的反函数，所以它的图像是指数函数图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。当 $b > 1$ 时，图像经过 $(1, 0)$ 和 $(b, 1)$，缓慢而无界地上升，并以 y 轴为竖直渐近线。它的定义域是 $(0, \infty)$，值域是全体实数，恰好与指数函数的定义域和值域相反。

平移会改变定义域。对于 $y = \ln(x - 3)$，真数必须为正，所以定义域是 $(3, \infty)$，渐近线移到 $x = 3$。求这类定义域的方法见定义域与值域指南，与指数函数的关系在反函数中有进一步说明。你可以用函数绘图计算器把几种底数的图像画在一起比较。

对数的应用

• 复利增长：一笔每年增长 5% 的金额，在 $1.05^t = 2$ 时翻倍，所以 $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ 年。
• 化学：pH 等于 $-\log[\mathrm{H}^+]$，所以氢离子浓度为每升 $10^{-3}$ 摩尔时 pH 为 3，pH 每变化一级，浓度就相差十倍。
• 声学：分贝值为 $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$，所以强度为 100 倍的声音要响 20 分贝。
• 计算机科学：在 $n$ 个元素中进行二分查找大约需要 $\log_2 n$ 步，所以一百万个元素只需大约 20 步。

这四个例子有一个共同点：对数把跨越许多个十的幂的量压缩到便于处理的尺度上，并把乘法式的变化转化为加法式的变化。

常见错误

• 写成 $\log(a + b) = \log a + \log b$。积的法则针对的是乘积，和的对数并没有这样的法则。
• 写成 $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$。左边其实是换底公式，等于 $\log_b a$。
• 把 $(\log x)^2$ 与 $\log x^2 = 2\log x$ 混为一谈。
• 解对数方程后忘记检验，使得让真数为负的答案蒙混过关。
• 在计算器上混淆 $\log$ 和 $\ln$。

对数计算器可以计算任意底数的对数并显示换底步骤，是检验上面各例的快捷方法。

对数学习计划

对数之所以显得抽象，主要是因为记号掩盖了一个简单的问题。培养熟练度的好方法是反复练习双向转换，直到成为条件反射。找十个你已经熟悉的幂，例如 $2^5 = 32$ 或 $10^{-2} = 0.01$，把每个都改写成对数；再找十个对数，把每个都改写成幂。经过短时间的练习，计算 $\log_3 81$ 或 $\log_{10} 0.001$ 就会变成一步心算，而不再是一道难题。

接下来，先用具体数字练习运算法则，再用到变量上。通过计算两边来验证 $\log_2 8 + \log_2 4$ 等于 $\log_2 32$，会让积的法则变得可信，也能训练你识别“常见错误”一节中列出的错误写法。然后再进入代数式的展开与合并。

最后，分两类来解方程：未知数在指数上的，以及未知数在对数里面的。第一类通过取对数求解，第二类通过改写成指数形式求解。判断题目属于哪一类就完成了一半的工作；而最后检验定义域，是区分正确答案与“差一点正确”的答案的另一个好习惯。

常见问题