代数
如何一步步解一元一次方程
解一元一次方程，就是在保持两边相等的前提下，按相反的顺序撤销对未知数所做的运算。本指南把这一思路整理成五个步骤的固定流程，并逐一讲解各种常见的变化形式。
数学指南、教程与学习技巧
这些指南讲解常见题目背后的方法，所附的完整例题都可以用计算器逐步核对。
代数
如何解一元二次方程：因式分解法、配方法和公式法
能用因式分解时它最快，配方法解释了求根公式的来历，而求根公式总是适用。下面介绍如何选择方法，每道例题都经过验算。
代数
如何因式分解多项式：分步方法清单
因式分解就是反过来做乘法。按照固定的清单逐步进行，从最大公因式开始，代数中遇到的几乎所有多项式都可以分解成简单的因式。
代数
如何解方程组：图像法、代入消元法和加减消元法
方程组要求找出同时满足每个方程的值。代入消元法和加减消元法都适用于任何线性方程组；关键在于选择计算量更小的那一种。
代数
如何一步步化简代数式
化简就是把一个表达式改写成等价的、更简短的形式，并且对任何允许的取值都不改变它的值。只需几条法则，按合理的顺序使用，就能处理几乎所有情况。
代数
如何解不等式并用区间表示答案
解不等式的方法与解方程几乎完全相同，只是多了一条规则，答案的形式也不同：是一个取值范围，而不是单个数。本指南涵盖所有常见类型。
代数
配方法分步指南
配方法把 $x^2 + bx$ 改写成一个完全平方式减去一个常数。它可以解任何一元二次方程，给出抛物线的顶点，推导出求根公式，并且在圆的方程和微积分中还会再次出现。
预备微积分
对数详解：定义、运算法则与解方程
对数只回答一个问题：底数要取几次方才能得到这个数？本指南中的每条法则和每种技巧都源于这一个想法。
预备微积分
如何求函数的定义域和值域
定义域是函数接受的所有输入；值域是函数能产生的所有输出。求定义域就是找出被禁止的输入，求值域则是弄清哪些输出真正能够取到。
预备微积分
函数复合：如何求出并使用 f(g(x))
函数复合就是把一个函数的输出送入另一个函数。复杂的公式正是这样由简单的部分搭建起来的，而识别出这些部分，对于学习反函数和微积分中的链式法则至关重要。
预备微积分
反函数：如何求出、画出并验证反函数
反函数撤销原函数所做的事。如果 $f$ 把 2 变成 7，它的反函数就把 7 变回 2。本指南说明反函数何时存在、如何求出它的解析式，以及如何检验它。
预备微积分
多项式函数：次数、端点行为、零点与图像
多项式是直线和抛物线之外最简单的函数，它们的图像遵循几条可靠的规律。只要知道次数、首项系数和零点，你就几乎可以手绘出任何多项式的图像。
三角学
单位圆：弧度、参考角与三角函数精确值
单位圆把三角学从一串需要死记的结论变成一幅可以读懂的图。每个角都对应圆上的一个点，而这个点的坐标就是该角的余弦和正弦。
三角学
三角恒等式：必备公式表及其用法
三角恒等式是在两边都有定义的每个角上都成立的等式。只需一小组恒等式，而且它们都源于单位圆，就能化简表达式、求精确值、证明结论和解方程。
三角学
正弦定理及其多解情形
正弦定理指出，在任意三角形中，每条边除以其对角的正弦，所得的值都相同。已知两个角和一条边时可以用它解三角形；只要细心，已知两条边和其中一边的对角时也可以使用。
三角学
余弦定理详解及例题
余弦定理把勾股定理推广到了所有三角形。已知两边及其夹角时，它能求出第三条边；已知三条边时，它能求出任意一个角。
三角学
如何逐类求解任意三角形
解三角形，就是根据已知的部分求出全部三条边和三个角。该用哪种工具取决于你知道的是哪三个部分，所以第一步永远是判断属于哪种情形。
微积分
微积分中的极限：实用指南
极限描述的是当自变量趋近某个数时，函数值所趋近的值，而不论函数是否真正取到这个值。极限是导数、积分和无穷级数的基础，因此能熟练地求极限，是学习微积分的第一项真正的技能。
微积分
什么是导数？清晰的入门讲解
函数的导数衡量的是在某一瞬间，输出随输入变化的快慢。从图像上看，它是切线的斜率；从代数上看，它是区间越来越小时平均变化率的极限。
微积分
求导法则详解与完整例题
用极限定义计算导数很慢。只需要少数几条法则——每条都由定义证明一次——就能在几行之内求出几乎任何式子的导数。本指南讲解每条法则、它为什么成立，以及如何组合使用。
微积分
什么是积分？面向初学者的讲解
积分把无穷多个微小的部分加起来，求出一个总量：面积、距离、体积或任何累积的量。微积分基本定理把这种求和过程与原函数联系起来，正因如此，积分才能实际计算出来。
微积分
定积分与不定积分
不定积分是一族函数，即原函数，写成带常数 $+ C$ 的形式。定积分带有积分上下限，结果是一个数，即有向面积或累积总量。微积分基本定理让你可以由前者算出后者。
微积分
隐函数求导，一步一步来
隐函数求导用于求由关于 x 和 y 的方程所确定的曲线的 dy/dx，而不必先解出 y。做法是对方程两边关于 x 求导，把 y 看作 x 的函数，从而使用链式法则，然后解出 dy/dx。
微积分
泰勒级数：用多项式逼近函数
泰勒级数利用函数在某一点处的各阶导数，把函数改写成一个无穷多项式。在若干项之后截断级数，就得到泰勒多项式，它是一种容易计算、误差可以估计的近似。
微积分
级数收敛判别法及其选择策略
当无穷级数的部分和趋于一个有限数时，级数收敛。收敛判别法并不计算这个数，而是判断它是否存在，每种判别法适合特定形式的通项。真正的本领在于知道哪种判别法适合哪种级数。
线性代数
矩阵基础：矩阵入门指南
矩阵是按行和列排列的矩形数表。矩阵可以紧凑地存储数据，更重要的是，它可以表示线性变换和方程组。本指南介绍矩阵的记号和核心运算，并特别讲解矩阵乘法。
线性代数
如何求矩阵的行列式
行列式是由方阵算出的一个数。它告诉你矩阵是否可逆、矩阵如何缩放面积和体积，以及是否翻转了方向。本指南介绍计算行列式的所有标准方法，并附有例题。
线性代数
如何求矩阵的逆
方阵的逆能撤销矩阵所做的变换，就像除法撤销乘法一样。矩阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。本指南介绍快捷的 2 乘 2 公式、通用的高斯-若尔当方法，以及如何用逆矩阵解方程组。
线性代数
特征值与特征向量详解（附例题）
矩阵的特征向量是这样一个方向：矩阵只会沿它拉伸或翻转，而不会使它转向；特征值就是拉伸的倍数。它们揭示了矩阵的本质行为，是对角化、稳定性分析、马尔可夫链和数据压缩的基础。
线性代数
点积详解
点积把两个向量合成一个数，用来衡量它们指向同一方向的程度。它是求向量夹角、判断垂直、把一个向量投影到另一个向量上以及计算物理中做功的工具。
线性代数
两个向量的叉积详解
叉积把三维空间中的两个向量相乘，得到一个同时垂直于这两个向量的新向量。它的长度等于两个向量所张成的平行四边形的面积，因此是求法向量、面积、力矩和体积的标准工具。
统计学
平均数、中位数、众数与标准差：完整指南
平均数、中位数和众数描述一组数据的中心，极差和标准差描述数据的分散程度。知道如何计算每个量数，以及每个量数在什么时候能给出真实的概括，是统计学的基础。
统计学
如何计算标准差（样本与总体）
标准差衡量数据值通常距离其平均数有多远。本指南逐步讲解计算过程，说明什么时候除以 n、什么时候除以 n - 1，并告诉你得到结果后如何解读。
统计学
概率基础：实用入门
概率用 0 到 1 之间的数来衡量一个事件发生的可能性有多大。少数几条法则，即对立事件、并事件、独立与非独立事件以及条件概率的法则，就能解决大多数问题；了解经典陷阱则能避免大多数错误。
统计学
z 分数详解（附完整例题）
z 分数告诉你一个数值比平均数高或低多少个标准差。它让你能够比较在不同尺度上测得的数值；对于服从正态分布的数据，还能把任意数值换算成百分位数或概率。
统计学
排列与组合详解
排列计算的是顺序重要的安排方式，组合计算的是顺序无关的选取方式。两者都源于基本计数原理和阶乘，从纸牌游戏到彩票，许多概率计算都离不开它们。
学习指南
如何高效地学习数学
数学是靠动手学会的，而不是靠读会的。简短而规律的主动解题练习，在时间上分散开来、在内容上混合起来，再加上理解每种方法为什么有效，就能培养出在考试中乃至考试之后都经久不衰的能力。
学习指南
如何避免数学粗心错误
粗心错误很少是随机的。大多数错误都属于少数几种可预见的类型，例如漏掉负号、去括号分配出错和读错题目，而每一种类型都有一个专门的习惯可以预防。
学习指南
如何检查数学作业和答案
几乎每个数学答案都可以在没有参考答案的情况下检查。代回原式、反向运算、估算、测试特殊值和检查单位，只需花原来解题时间的一小部分，就能发现绝大多数错误。
学习指南
如何准备数学考试
有效的备考要提前几周开始。弄清考什么，诊断薄弱内容，在限时条件下做往年试卷，规划答题节奏，并把最后几天用于复习而不是学习新内容。
学习指南
真正有效的数学练习策略
并非所有练习都一样有效。高效的数学练习针对具体的薄弱点，混合不同题型，在时间上间隔安排，变换题目的呈现方式，并及时获得反馈，让每一小时都转化为持久的能力，而不是短暂的熟悉感。
学习指南
机考 SAT 数学：题型结构、考查内容与策略
机考 SAT 数学部分共 44 道题，分为两个各 35 分钟的自适应模块，全程允许使用计算器。它考查代数、高等数学、问题解决与数据分析、几何与三角学，看重熟练的代数能力、聪明地使用计算器以及稳定的答题节奏。
学习指南
ACT 数学：题型结构、考查内容与应试策略
新版 ACT 数学部分共有 45 道题，限时 50 分钟，每题四个选项，全程可以使用符合规定的计算器。考查范围从算术基础一直到三角学，因此全面的熟练度和稳定的答题节奏，比任何单个高难度知识点都更重要。
学习指南
AP 微积分 AB 与 BC 考试指南
AP 微积分考试由选择题和自由作答题两部分组成，各占总分的一半，并分为可用计算器和不可用计算器两种题段。取得好成绩的关键在于熟练的求导和积分、清晰的论证，以及用历年公开的自由作答题进行练习。
如何使用这些指南
本博客的每篇文章都从头到尾只讲一个知识点。文章先给出定义或法则，再写出关键公式，然后把几道例题逐行完整地算一遍，让你不仅看到答案，更明白每一步为什么成立。每篇指南的结尾都会解答学生在该主题上最常提出的问题。
文章按照中学和大学低年级课程的常见顺序分为七个类别：代数、预备微积分、三角学、微积分、线性代数、统计学和学习指南。如果你正在复习某门课程，可以从与当前单元对应的类别开始，按顺序阅读；后面的文章会用到前面文章的概念，并附有回链。
每道例题都可以在对应的计算器中核对。建议先在纸上独立完成，再把自己的步骤与求解器对比。这些指南中的例题在发布前都经过自动化数学测试的检验，每篇文章也会标注最近一次更新的日期。