平均数、中位数、众数与标准差：完整指南

中心与离散：两个大问题

一串数字很难一眼看懂。统计学通过回答两个问题来概括它：数据的中间在哪里？各个数值通常偏离这个中间有多远？集中趋势的量数，即平均数、中位数和众数，回答第一个问题。离散程度的量数，如极差、四分位距和标准差，回答第二个问题。

两者缺一不可。两个班级的考试平均分可能相同，但一个班每个人的分数都接近平均分，另一个班的分数却从不及格到满分都有。只看中心会掩盖这种差异，而只看离散程度又无法说明全班整体考得怎么样。

平均数

平均数，即算术平均数，是所有数值之和除以数值的个数。对于数据 $x_1, x_2, \ldots, x_n$：

平均数用到了每一个数值，这使它很有效率，但也很敏感。一个极端值，也就是离群值，就可能把它拉偏很多。加权平均数让某些数值比其他数值更有影响力。如果期末考试占总成绩的 60%，平时作业占 40%，那么 80 分和 90 分合起来是 $0.6(80) + 0.4(90) = 84$，而不是简单平均的 85。

中位数

中位数是数据排序后位于正中间的数值。数值个数为奇数时，它就是正中间的那一个；为偶数时，它是中间两个数的平均数。

中位数不考虑极端值离中间有多远，因此不易受离群值影响。假设五个人的年收入分别为 30、35、40、45 和 50 千美元，平均数和中位数都是 40 千美元。如果第六个人加入，他的年收入为 1,000 千美元（即一百万美元），平均数就会跃升到 200 千美元，比除新成员之外的任何人都高，而中位数只移动到 42.5 千美元。这就是房价和收入通常用中位数来报告的原因。

众数

众数是出现次数最多的数值。在上面的考试分数中，85 出现了三次，所以众数是 85。一组数据可以有一个众数、两个众数（双峰）、多个众数，或者在每个数值都恰好只出现一次时根本没有众数。

众数是唯一适用于分类数据的集中趋势量数。你无法对最喜欢的颜色或鞋子品牌求平均，但可以说出哪一个最受欢迎。对于数值数据，众数在数值经常重复时最有用，例如商店销售记录中的鞋码，最常见的尺码正是采购人员需要知道的信息。

应该使用哪种平均值？

• 对于大致对称、没有极端离群值的数据，如身高或测量误差，使用平均数。
• 对于偏态数据或含有离群值的数据，如收入、房价或等待时间，使用中位数。
• 对于分类数据，或者最常见的选项很重要的离散数值，使用众数。

比较平均数和中位数还能告诉你数据的形状。当平均数明显大于中位数时，说明有一条由较大数值构成的长尾把平均数往上拉，数据呈右偏。当平均数较小时，数据呈左偏。在上面的考试分数中，平均数 82.1 低于中位数 85，因为几个低分把平均数往下拉了。

衡量离散程度：极差与标准差

最简单的离散程度量数是极差，即最大值减去最小值。对于上面的考试分数，极差是 $95 - 68 = 27$ 分。极差容易计算，但完全取决于两个最极端的数值。四分位距衡量的是中间一半数据的分散程度，更加稳健。

标准差是使用最广泛的离散程度量数，它大致等于一个数值与平均数之间的典型距离。对于整个总体，它为：

除以 $n$ 与除以 $n - 1$ 的区别以及为什么这很重要，在如何计算标准差中有详细解释。

把各个概括量结合起来

一份好的数据概括应当报告相互匹配的中心和离散程度。平均数天然与标准差搭配，因为两者都用到每一个数值，也都对离群值敏感。中位数与四分位距搭配，因为两者都比较稳健。把中位数和标准差放在一起报告，混合了两种不同的思路，可能造成误导。

对于大致呈钟形的数据，平均数和标准差能讲述一个相当完整的故事：约 68% 的数值落在平均数左右一个标准差以内，约 95% 落在两个标准差以内。以标准差为单位衡量一个数值与平均数的距离，正是z 分数所做的事情。平均数、中位数和众数计算器可以根据粘贴的一列数据算出本文中的所有量数，标准差计算器则展示离散程度计算的每一步。

四分位数与四分位距

四分位数把排好序的数据分成四等份。一种简单的方法是分别求前后两半数据的中位数。对于排序后的考试分数，前一半是 68、72、77、85，所以第一四分位数是 $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$。后一半是 85、85、90、95，所以第三四分位数是 $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$。四分位距为 $87.5 - 74.5 = 13$ 分，也就是全班中间一半学生分数的跨度。

不同的教材和软件采用的四分位数约定略有不同，所以答案之间存在细微差异是正常的，并不代表出错。一条常用规则是：凡是低于第一四分位数或高于第三四分位数超过 1.5 倍四分位距的数值，都标记为可能的离群值。这里的界限是 55 和 107，所以没有任何分数异常。

常见问题