标准差计算器：样本标准差与总体标准差

Q: 为什么样本公式要除以 n − 1？

样本平均数比真实平均数更接近样本值，这会使离差偏小。除以 n-1（贝塞尔校正）可以弥补这一点，得到方差的无偏估计。

Q: 多大的标准差算好或算高？

没有通用的界限，这取决于数据的尺度。可以把它与平均数比较，或者用变异系数 s/(x̄) 来判断分散程度相对于典型值是否较大。

关于标准差计算器

标准差衡量数据值在平均数周围的分散程度。标准差小，说明各个值都集中在平均数附近；标准差大，说明它们分布得很分散。

如果数据包含了你所关心的群体中的每一个成员，就用总体公式；如果数据是用来估计更大总体的一个样本，就用除以 $n-1$ 的样本公式。

标准差衡量的是什么？

标准差衡量一组数在其平均数周围的分散程度。标准差小，说明各个值都集中在平均数附近；标准差大，说明它们分布得很分散。两个班的测验平均分可能都是 70 分，但如果一个班的标准差是 3，另一个班是 15，那么前一个班的成绩很整齐，而后一个班从吃力到优秀都有。

标准差由离差计算，离差就是每个值与平均数的距离。离差之和总是零，所以要先把它们平方再求平均，这样得到的是方差。对方差开平方，结果就回到原来的单位，所以以厘米为单位的身高数据，其标准差也以厘米为单位。

如何使用标准差计算器

输入或粘贴数字，用逗号、空格或换行隔开。
选择“样本”或“总体”。
点击“计算”，查看平均数、离差的平方、方差和标准差。

公式

总体标准差

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

样本标准差

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

方差

\sigma^2,\ s^2 = (\text{标准差})^2

例题详解: 4, 8, 6, 5, 3, 7（样本）

例题把 4、8、6、5、3、7 当作样本。平均数是 $\frac{33}{6} = 5.5$ 。离差为 $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ ，它们的平方和是 17.5。除以 $n - 1 = 5$ 得到样本方差 3.5，它的平方根就是样本标准差 $s \approx 1.870828693$ 。作为对比，把同样这六个数当作整个总体时改为除以 6，得到 $\sigma \approx 1.707825128$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

s = 1.870828693

我们对题目的理解

把数据视为来自更大总体的样本（贝塞尔校正，除以 n − 1)）。

分步解答

求平均数
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
把每个数值与平均数之差平方
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
把这些离差平方相加
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
除以 n − 1，得到样本方差
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
开平方
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

所用公式

样本标准差
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
总体标准差
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

标准差衡量各数值围绕平均数的分散程度。标准差小，说明数据集中在平均数附近。

验算

方差 = 3.5，且 1.870828693² = 3.5
用于比较的总体标准差：1.707825128

详细讲解

实际中如何选择样本或总体

两个公式只是除数不同，但对于小数据集，这个选择很重要。如果这些数就是你所关心群体的全部成员，例如一个班全部 25 名学生的成绩，就用除以 $N$ 的总体公式。如果它们是用来估计更大群体分散程度的样本，例如从全校选出的 25 名学生，就用除以 $n - 1$ 的样本公式。计算器中的第二个例子把 2、4、4、4、5、5、7、9 当作总体，平均数是 5，离差平方和是 32，所以 $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ 。

如何解读这个数

对于大致呈钟形分布的数据，经验法则指出：约 68% 的值落在平均数上下一个标准差以内，约 95% 落在两个标准差以内，约 99.7% 落在三个标准差以内。因此，与平均数相差超过两个标准差的值就算少见。把一个值与平均数的距离除以标准差，得到它的 z 分数，借此可以比较用不同尺度衡量的结果，例如考试分数和赛跑成绩。

由于离差要平方，标准差对异常值很敏感，一个极端值就可能让它大幅增大。对于严重偏态的数据，四分位距往往能更好地概括分散程度。

常见错误

对样本用 $n$ 而不是 $n - 1$ ，会低估分散程度。
忘记把离差平方，使正负离差相互抵消为零。
题目问标准差，却给出了方差。
在计算离差之前先把平均数舍入，使每个平方项都产生偏差。
忘记最后开平方，把方差当作标准差报告。

小贴士

对于大致呈钟形分布的数据，约 68% 的值落在平均数上下一个标准差以内。
标准差与数据的单位相同；方差的单位是数据单位的平方。
每个值都加上同一个常数，标准差不变。
每个值都加上一个常数，标准差不变；每个值都乘以 $k$ ，标准差就乘以 $|k|$ 。
用 z 分数计算器查看某一个值与平均数相差几个标准差。

常见问题

什么是标准差？

它是各值与平均数距离平方的平均值的平方根。它告诉你一个典型的值离平均数有多远。

应该选样本还是总体？

如果你拥有整个群体的数据，就选总体。如果你的数据是用来描述更大群体的一个子集，就选样本；这是更常见的情况。

为什么样本公式要除以 n − 1？

样本平均数比真实平均数更接近样本值，这会使离差偏小。除以 $n-1$ （贝塞尔校正）可以弥补这一点，得到方差的无偏估计。

标准差可以为零吗？

可以，当且仅当所有值都相同时。标准差永远不会为负。

需要多少个值？

求总体标准差有一个值就够了（结果为 0）。样本公式至少需要两个值。

方差和标准差有什么区别？

方差是离差平方的平均值；标准差是它的平方根，使这个度量回到数据本身的单位。

多大的标准差算好或算高？

没有通用的界限，这取决于数据的尺度。可以把它与平均数比较，或者用变异系数 $\frac{s}{\bar x}$ 来判断分散程度相对于典型值是否较大。

异常值对标准差有什么影响？

影响很大，因为每个离差都要平方。把例题中的 7 换成 70，样本标准差会从约 1.87 增加到 26 以上。

求出数据的分散程度

在上方粘贴你的数字，选择样本或总体，即可得到平均数、方差和标准差以及每一步。

使用计算器询问 AI 解题器

标准差计算器