平均数、中位数、众数计算器：含极差与步骤

Q: 怎样计算平均数？

把所有值相加，再除以值的个数。对于 3、7、7、2、9、4，总和是 32，平均数是 32/6 ≈ 5.33。

Q: 值的个数为偶数时怎样求中位数？

把数据排序，取两个中间值的平均数。对于 2、3、4、7、7、9，中位数是 (4 + 7)/2 = 5.5。

关于平均数、中位数、众数计算器

平均数、中位数和众数是描述一组数据中心位置的三种方式。平均数是算术平均值，中位数是数据排序后位于正中间的值，众数是出现次数最多的值。极差即最大值减最小值，初步反映了数据的离散程度。

每个量对异常值的反应各不相同。一个特别大的数会把平均数拉高，却几乎不影响中位数，所以这两个量常常一起给出。

什么是平均数、中位数和众数？

平均数、中位数和众数是集中趋势的三种度量，它们从三个不同角度回答“这组数据中典型的值是多少”这个问题。平均数是算术平均值，即总和除以个数。中位数是数据排序后位于正中间的值。众数是出现次数最多的值。三者各自体现了对“典型”的不同理解，只有在数据完全对称时才会一致。

极差即最大值减最小值，与它们一起给出，用来初步了解数据的分散程度。这四个数合在一起构成一份简明的概括，通常足以比较两组数据，或发现某个不合群的值。

如何使用平均数、中位数、众数计算器

输入数字，用逗号、空格或换行隔开。
点击“计算”。
查看排序后的列表、计算平均数所用的总和与个数、中位数所在的中间位置，以及求众数所用的频数统计。

公式

平均数

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

中位数的位置

\text{位置} = \frac{n + 1}{2} \text{（在排序后的列表中）}

极差

\text{极差} = x_{\max} - x_{\min}

例题详解: 3, 7, 7, 2, 9, 4

例题使用数据 3、7、7、2、9、4。排序后为 2、3、4、7、7、9。它们的总和是 32，所以平均数是 $\frac{32}{6} \approx 5.333333333$ 。共有六个值，所以有两个中间值 4 和 7，中位数是 $\frac{4 + 7}{2} = 5.5$ 。值 7 出现两次，其余每个值各出现一次，所以众数是 7，极差是 $9 - 2 = 7$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

平均数 = 5.333333333；中位数 = 5.5；众数 = 7；极差 = 7

我们对题目的理解

一组数据的集中趋势度量。

分步解答

将数据从小到大排序
$2, 3, 4, 7, 7, 9\quad (n = 6)$
平均数：把各数值相加，再除以数值的个数
$\bar{x} = \frac{32}{6} = 5.333333333$
中位数：排好序的数据中间的那个值
共有 6 个数值（偶数个），所以中位数是第 3 个与第 4 个数值的平均数。
$\text{中位数} = \frac{4 + 7}{2} = 5.5$
众数：出现次数最多的数值
出现最多的是：7。
极差：最大值减去最小值
$9 - 2 = 7$

所用公式

平均数
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
极差
$\text{极差} = x_{\max} - x_{\min}$

平均数平衡所有数值，中位数把排好序的数据分成两半且受异常值影响较小，众数则是出现最多的数值。

验算

总和 32 = 平均数 × n = 5.333333333 × 6 = 32

详细讲解

异常值如何拉动平均数

平均数用到了每一个值，所以单个极端值就会让它移动。如果例题中的 9 换成 90，总和会变成 113，平均数会跃升到约 18.83，而中位数仍为 5.5，因为排序后列表的正中间没有变化。正因如此，关于收入和房价的报告通常引用中位数：少数几个特别大的值会使平均数无法代表一个典型家庭。

当平均数明显大于中位数时，数据通常是右偏的，高值一侧拖着长长的尾巴；当平均数小于中位数时，数据是左偏的。

什么时候该用众数

众数是三者中唯一适用于分类数据的量。你无法对鞋子的颜色或最喜欢的科目求平均，但可以说出哪一种最常见。对于数值数据，当值有重复时众数很有用，例如鞋店应当多备哪个最常见的鞋码。一组数据可以有一个众数、多个众数，或者在每个值出现次数都相同时根本没有众数，计算器会明确报告每一种情况。

常见错误

没有先给数据排序就求中位数。
当 $n$ 为偶数时只取两个中间值中的一个；中位数应是它们的平均值。
两个值出现次数并列最多时说没有众数；这时数据是双众数的。
把未排序列表的中间值当作中位数。
求平均数时除以不同值的个数，而不是所有值的总个数。

小贴士

对于收入或房价这类偏态数据，使用中位数。
如果每个值都只出现一次，就没有众数。
平均数乘以个数得到总和，这在求缺失值的问题中很方便。
检查平均数是否介于最小值和最大值之间；如果不是，说明某个值输错了。
用平均数乘以个数还原出总和，当需要求出某个缺失值时很有用。

常见问题

怎样计算平均数？

把所有值相加，再除以值的个数。对于 3、7、7、2、9、4，总和是 32，平均数是 $\frac{32}{6} \approx 5.33$ 。

值的个数为偶数时怎样求中位数？

把数据排序，取两个中间值的平均数。对于 2、3、4、7、7、9，中位数是 $\frac{4 + 7}{2} = 5.5$ 。

一组数据可以有多个众数吗？

可以。如果两个或更多的值同时具有最高频数，它们都是众数。如果每个值出现的次数都相同，就没有众数。

应该用哪个量来描述中心位置？

平均数用到了每一个值，适合对称的数据。中位数不受异常值影响。众数是唯一也适用于分类数据的量。

计算器接受负数和小数吗？

接受。可以输入任意实数，用逗号、空格或换行隔开。

极差有什么用？

它是最简单的离散程度度量。如果需要更稳健的度量，请使用标准差计算器。

怎样由平均数求出缺失的值？

用目标平均数乘以值的个数得到所需的总和，再减去已知值的总和。五次测验中已得 72、85、90 和 78 分，要使平均分达到 80，你需要 $400 - 325 = 75$ 分。

为什么平均数和中位数不同？

平均数会被极端值拉动，而中位数只取决于排序后列表的正中间。两者之间有差距，说明数据有偏态或存在异常值。

概括你的数据

在上方输入你的数字，即可得到平均数、中位数、众数和极差，并看到排序后的列表和每一步计算。

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