导数计算器

核心法则

入门课程中遇到的几乎所有导数都来自少数几条法则。幂函数求导法则对任意实数 $n$ 给出 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$，它也适用于根式，因为 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 的导数是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$。常数倍法则和和的法则让你可以对多项式逐项求导。指数函数求导法则说明 $e^x$ 的导数就是它自己，对数函数求导法则给出 $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$。六个三角函数各有标准导数，最基本的是 $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ 和 $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$。

这些基本导数再与三条结构性法则组合。积的求导法则处理 $f \cdot g$，商的求导法则处理 $\frac{f}{g}$，链式法则处理函数套函数的情形。认出眼前是哪种结构，就完成了大部分工作，这也是计算器在每一步的标题中注明法则名称的原因。

链式法则的实际运用

链式法则指出，若 $y = f(g(x))$，则 $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$：先对外层函数求导，内层保持不变，再乘以内层函数的导数。对于 $\sin(x^2)$，外层函数是正弦，内层是 $x^2$，所以导数是 $\cos(x^2) \cdot 2x$。计算器把它写成 $2\cos(x^2)\,x$，只是因子的顺序不同，式子是一样的。

链式法则也隐藏在其他法则之中。在 $e^{3x}$ 中，内层是 $3x$，所以导数是 $3e^{3x}$，计算器把这一步标为指数函数求导法则，形式为 $e^u \cdot u'$。漏掉内层函数带来的因子，是求导中最常见的错误；把你的结果与计算器中内层函数那一步对照，是找出它的最快方法。

商与化简

对于商 $\frac{u}{v}$，法则是 $\frac{u'v - uv'}{v^2}$。分子中的顺序很重要，因为减法不满足交换律。对 $\frac{e^{3x}}{x}$ 求导得到 $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$，计算器把它化简为 $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$。两种形式都正确，$\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ 也正确。如果你的答案与显示的答案看起来不同，可以把同一个值（例如 $x = 1$）分别代入两者；在多个点上取值相等，就有力地说明两个式子等价。

高阶导数与在某一点求值

再求一次导就得到二阶导数，它衡量斜率本身怎样变化。二阶导数为正表示图像是凹的（向上弯曲，像一只杯子），为负表示图像是凸的（向下弯曲）。对于 $f(x) = x^3$，一阶导数是 $3x^2$，二阶导数是 $6x$；在 $x = 2$ 处求值得 $f''(2) = 12$。在物理中，如果 $x^3$ 表示位移，那么 12 就是时刻 2 的加速度。

一阶导数在某一点的值就是该点处切线的斜率，再结合这个点本身，就可以用点斜式写出切线方程。这是线性近似和求解方程的牛顿法的基础。

用导数求极大值和极小值

光滑函数只可能在导数为零或不存在的地方取得极大值或极小值，因为在山顶或谷底，切线是水平的。要求函数的最值，就对它求导，令 $f'(x) = 0$，解出 $x$，再逐一检验每个候选点。对于 $f(x) = x^3 - 3x$，导数是 $3x^2 - 3$，它在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处为零。二阶导数 $6x$ 在 $-1$ 处为负，在 $1$ 处为正，所以图像在 $(-1, 2)$ 处取得极大值，在 $(1, -2)$ 处取得极小值。

在闭区间上，最大值和最小值也可能出现在端点处，所以还要比较函数在端点的值。许多应用题，例如求体积一定的盒子最省材料的做法，只要把要优化的量写成一个变量的函数，就完全按照这个模式求解。

计算器如何检验答案

符号求导可能以不易察觉的方式出错，尤其是在化简过程中，所以结果不会被直接采信。计算器在一组样本点上计算它所求的导数，并与直接由原函数算出的中心差商 $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$（取很小的 $h$）进行比较。如果在函数有定义的每个点上两者都在很小的误差范围内一致，检验就通过，并列在答案下方。你也可以用计算器手工使用同样的思路：取一个 $x$ 值，把它稍微增大和减小一点，看看 $f$ 的变化量除以 $x$ 的变化量是否与你求的导数相符。