一元二次方程计算器：求根与判别式

Q: 求根公式是什么？

对于 ax^2 + bx + c = 0，解为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。它适用于所有一元二次方程，包括无法因式分解的方程。

Q: 判别式能告诉我什么？

如果 b^2 - 4ac > 0，有两个不同的实数根；如果它等于 0，有一个二重根；如果它为负，有两个复数根。

Q: 计算器能给出复数根吗？

能。判别式为负时，根写成 p ± qi 的形式；x^2 + 2x + 5 = 0 的根是 -1 ± 2i。

Q: 怎样求抛物线的顶点？

顶点的横坐标是 x = -b/(2a)；把这个值代入即得纵坐标。计算器会同时给出两者。

Q: 二重根是什么意思？

它表示判别式为零，两个根是同一个数。抛物线在顶点处与 x 轴相切而不穿过，例如 x^2 - 6x + 9 = 0 有二重根 x = 3。

Q: 为什么一元二次方程中 a 不能为零？

如果 a = 0，x^2 项就消失了，方程变成一次方程 bx + c = 0，最多只有一个解。求根公式也会出现除以零，所以计算器要求 a 不为零。

关于一元二次方程计算器

一元二次方程的形式是 $ax^2 + bx + c = 0$ ，其中 $a \neq 0$ 。它的图像是一条抛物线，方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 告诉你根的类型：为正时有两个实数根，为零时有一个重根，为负时有两个共轭复数根。计算器保留精确的根式，所以 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ 的解是 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ 。

什么是一元二次方程？

一元二次方程是次数为二的多项式方程：未知数的最高次幂是 $x^2$ 。它的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是数，且 $a$ 不为零。系数 $a$ 决定抛物线的宽窄和开口方向， $b$ 使它左右平移， $c$ 是它与 y 轴交点的纵坐标。

由于 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像是抛物线，它可能与 x 轴相交两次，可能在顶点处与 x 轴相切，也可能与 x 轴完全不相交。这三种情形分别对应两个实数解、一个重解和没有实数解，而判别式在求根之前就能判断属于哪一种。

如何使用一元二次方程计算器

把方程改写成一边为 0 的形式。
输入系数 a、b 和 c。可以输入分数和小数。
点击“求解”，查看判别式、两个根、因式分解形式和顶点。

公式

求根公式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

判别式

\Delta = b^2 - 4ac

顶点

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

韦达定理

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

例题详解: x² − 3x − 10 = 0

例题求解 $x^2 - 3x - 10 = 0$ ，其中 $a = 1$ ， $b = -3$ ， $c = -10$ 。判别式为 $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ ，是正的完全平方数，所以有两个有理根。由公式得 $\frac{3 \pm 7}{2}$ ，即 $x = -2$ 和 $x = 5$ 。计算器还求出顶点 $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ 和因式分解形式 $(x + 2)(x - 5)$ ，并用韦达定理验证两根之和为 3、两根之积为 −10。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

我们对题目的理解

用求根公式解一般形式的一元二次方程。

x^2 - 3x - 10 = 0

分步解答

确定 ax² + bx + c = 0 的系数
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
计算判别式
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0，所以有两个不相等的实数根
代入求根公式
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
化简每个根
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
求抛物线的顶点
抛物线开口向上，所以顶点是最低点。
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
因式分解形式
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

所用公式

求根公式
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
判别式
$\Delta = b^2 - 4ac$
顶点
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

判别式为正，所以抛物线与 x 轴有两个交点。

验算

代入 x = -2：1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
代入 x = 5：1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
韦达定理：两根之和 = 3 = −b/a = 3；两根之积 = -10 = c/a = -10

详细讲解

判别式的三种情况

当 $\Delta > 0$ 时，平方根是实数， $\pm$ 产生两个不同的根。如果 $\Delta$ 还是完全平方数，比如例题中的 49，那么根是有理数，二次式可以在整数范围内因式分解；否则根中含有根号，例如 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ 的根是 $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ 。当 $\Delta = 0$ 时，两个根重合： $x^2 - 6x + 9 = 0$ 有二重根 $x = 3$ ，抛物线恰好与 x 轴相切。当 $\Delta < 0$ 时没有实数根，计算器给出一对复数根，例如 $x^2 + 2x + 5 = 0$ 的根是 $-1 \pm 2i$ 。

求根公式的由来

对一般方程配方，就得到求根公式。两边除以 $a$ 并移走 $c$ ，得到 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ；两边同时加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ，左边成为完全平方式， $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ 。两边开平方再减去 $\frac{b}{2a}$ ，就得到公式。这个推导也解释了顶点：抛物线关于 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这正是两根的中点。

解读顶点和图像

顶点是抛物线的转折点。它的横坐标是 $-\frac{b}{2a}$ ，代入方程即得纵坐标： $a > 0$ 时是最小值， $a < 0$ 时是最大值。例题中顶点是 $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ ，所以表达式 $x^2 - 3x - 10$ 永远不会小于 $-12.25$ 。这使二次函数在最优化问题中非常有用，例如求抛出的球能达到的最高点，或使收入最大的价格。

顶点式 $a(x - h)^2 + k$ 直接给出同样的信息，顶点为 $(h, k)$ 。

常见错误

当 $b$ 为负数时，用 $-b^2$ 代替了 $b^2$ ： $(-3)^2 = 9$ 。
只把 $-b$ 除以 $2a$ ，而不是整个分子。
还没把所有项移到一边就输入系数。
忘记 ±，只给出一个根。
题目只要求实数解时给出复数根，或者相反；要看清题目的要求。

小贴士

如果 $b$ 是偶数，公式可以简化为 $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ 。
用韦达定理检验根：两根之和应为 $-\frac{b}{a}$ 。
如果 $\Delta$ 是完全平方数，二次式可以在整数范围内因式分解。
先把三个系数同时除以它们的公因数；根不会改变，计算也更轻松。
顶点位于两根的正中间，这可以同时快速检验两个根。

常见问题

求根公式是什么？

对于 $ax^2 + bx + c = 0$ ，解为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。它适用于所有一元二次方程，包括无法因式分解的方程。

判别式能告诉我什么？

如果 $b^2 - 4ac > 0$ ，有两个不同的实数根；如果它等于 0，有一个二重根；如果它为负，有两个复数根。

计算器能给出复数根吗？

能。判别式为负时，根写成 $p \pm qi$ 的形式； $x^2 + 2x + 5 = 0$ 的根是 $-1 \pm 2i$ 。

如果 a = 0 怎么办？

那么方程是一次方程，而不是二次方程。请改用方程求解器或解方程求 x 计算器。

怎样求抛物线的顶点？

顶点的横坐标是 $x = -\frac{b}{2a}$ ；把这个值代入即得纵坐标。计算器会同时给出两者。

为什么用根式而不是小数表示根？

精确的根式保持全部精度，并能显示答案的结构。为方便起见，旁边也会列出小数近似值。

二重根是什么意思？

它表示判别式为零，两个根是同一个数。抛物线在顶点处与 x 轴相切而不穿过，例如 $x^2 - 6x + 9 = 0$ 有二重根 $x = 3$ 。

什么时候该用因式分解而不是求根公式？

当判别式是完全平方数且数字较小时用因式分解，因为这时根是有理数。求根公式总是有效，所以因式分解不明显时就用公式。

为什么一元二次方程中 a 不能为零？

如果 $a = 0$ ， $x^2$ 项就消失了，方程变成一次方程 $bx + c = 0$ ，最多只有一个解。求根公式也会出现除以零，所以计算器要求 $a$ 不为零。

求解你的一元二次方程

在上方输入 a、b、c，即可得到判别式、精确的根、顶点和因式分解形式，每一项都附有计算过程。

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