不等式计算器：分步解不等式

关于不等式计算器

方程问的是两个表达式在哪里相等；不等式问的是一个表达式在哪里大于或小于另一个。答案通常不是单个数，而是一个数的范围，例如介于 2 和 3 之间的所有 $x$ 。用正确的括号和端点把这个范围写对，正是最容易丢分的地方。

本计算器可以求解 $3x - 5 \ge 7$ 这样的一次不等式、 $x^2 - 5x + 6 < 0$ 这样的高次不等式、 $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ 这样的分式不等式、 $-3 < 2x + 1 \le 9$ 这样的连不等式，以及 $|x - 4| < 3$ 这样的绝对值不等式。它总会显示哪些点把数轴分开，并检验每个区间，让你明白答案为什么是这样。

什么是不等式？

不等式用 $<$ 、 $>$ 、 $\le$ 或 $\ge$ 中的一个符号比较两个表达式。它的解集是使这个比较成立的变量的所有取值。对于 $x + 2 > 5$ ，解集是所有大于 3 的数，写作 $(3, \infty)$ 。

区间表示法中，不包含的端点用圆括号，包含的端点用方括号。无穷总是用圆括号，因为它不是一个能够取到的数。分开的几段用并集符号连接，例如 $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ 。

如何使用不等式计算器

用 <、>、<= 或 >= 输入不等式，例如 x^2 - 5x + 6 < 0 或 2x + 3 >= 7。
连不等式把两个比较写在同一行，例如 -3 < 2x + 1 <= 9。
绝对值用 abs() 表示，例如 abs(x - 4) < 3。
点击“求解”。检查临界点和符号表，然后查看用区间表示的解集。

公式

不等号变向

a < b \text{ 且 } k < 0 \Rightarrow ka > kb

两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变。

绝对值小于型

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

绝对值大于型

|u| > c \iff u < -c \ \text{或}\ u > c

乘积的符号

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

例题详解: x² − 5x + 6 < 0

例题中， $x^2 - 5x + 6 < 0$ 被分解为 $(x - 2)(x - 3) < 0$ 。临界点 2 和 3 把数轴分成三个区间，计算引擎在每个区间中各取一个值进行检验。

只有中间的区间使乘积为负；又因为这是严格不等式，端点不包含在内，所以答案是开区间 $(2, 3)$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

(2, 3)

我们对题目的理解

解不等式，并用区间表示答案。

{x}^{2}-5x+6 < 0

分步解答

把所有项移到一边并因式分解
符号表需要把 f(x) 与 0 比较的形式，并写成若干因式的乘积或商。
$(x - 3)(x - 2) < 0$
求临界点
符号只可能在 2（零点）、3（零点）处改变。
在每个区间内取一点检验（符号表）
(-∞, 2)：检验 x = 1 → 符号 + → 不包含；(2, 3)：检验 x = 2.5 → 符号 − → 包含；(3, ∞)：检验 x = 4 → 符号 + → 不包含
确定端点
2：不包含；3：不包含
写出解集
$x \in (2, 3)$

所用公式

不等号改变方向
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
绝对值
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ 或 } A > c$

当且仅当 x 属于 (2, 3) 时不等式成立。表达式无定义的点永远不包含在内；只有在 ≤ 或 ≥ 的情况下，表达式等于零的端点才包含在内。

验算

x = 1：不满足不等式。
x = 2.5：满足不等式。
x = 4：不满足不等式。

详细讲解

一次不等式

解一次不等式和解方程完全一样，只多一条规则：每当两边同时乘以或除以一个负数时，就要改变不等号的方向。由 $-2x > 6$ 得到 $x < -3$ ，因为乘以 $-\tfrac12$ 会使数轴上数的大小顺序颠倒。

原因在于取相反数相当于把数轴镜像翻转。如果 $5 > 2$ ，那么 $-5 < -2$ 。两边同时加上或减去同一个数，永远不会改变不等号的方向。

符号表法

对于高次不等式和分式不等式，先把所有项移到一边，使另一边为零。然后找出临界点：分子的零点，对于分式还要加上分母的零点。多项式只可能在零点处改变符号，所以在相邻两个临界点之间，它的符号保持不变。

在每个区间内任取一个检验值，算出符号。保留符号与不等式相符的区间。最后逐个判断端点：对于 $\le$ 或 $\ge$ ，分子的零点要包含在内；但分母的零点总是排除，因为表达式在那里没有定义。

重根需要特别注意。在 $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ 中，因式 $(x - 1)^2$ 永远不变号，所以表达式在 $x = 1$ 两侧的符号相同。符号表会自动处理这种情况，而“符号交替”的捷径做不到这一点。

连不等式与绝对值不等式

像 $-3 < 2x + 1 \le 9$ 这样的连不等式，要对三个部分同时进行相同的运算，得到 $-2 < x \le 4$ 。绝对值不等式可以转化为连不等式： $|x - 4| < 3$ 表示 $x$ 到 4 的距离小于 3，所以 $1 < x < 7$ 。

常见错误

两边乘以或除以负数后忘记改变不等号方向。
两边同乘像 $x - 2$ 这样符号未知的表达式。应改用符号表。
把使分母为零的值包含在解集中。
在无穷旁边使用方括号。
把 $|x| > 3$ 写成 $-3 > x > 3$ ，没有任何数满足它；它的意思是 $x < -3$ 或 $x > 3$ 。

小贴士

因式分解之前，先使一边为零。
每次都画出标有临界点的数轴；这能避免大多数端点错误。
从答案中取一个值、在答案外取一个值，分别代入原不等式检验。
严格不等号对应圆括号；含等号的不等号在分子零点处对应方括号。

常见问题

为什么除以负数时不等号要变向？

乘以负数会使数轴上数的大小顺序颠倒。5 大于 2，但负 5 小于负 2，所以比较的方向必须改变才能保持成立。

什么是区间表示法？

一种用括号书写解集的方法。圆括号不包含端点，方括号包含端点，几段之间用并集符号连接。

怎样解一元二次不等式？

把所有项移到一边，因式分解或求出根，在数轴上标出这些根，在每个区间内检验一个值，保留符号相符的区间。

为什么分式不等式中有些端点要排除？

使分母为零的值会让表达式没有定义，所以即使是小于等于或大于等于，它们也永远不能属于解集。

不等式可能无解吗？

可能。例如 x 的平方加 1 小于 0 没有实数解，因为 x 的平方加 1 总是正数。计算器会给出空集。

不等式可能对所有实数都成立吗？

可能。例如 x 的平方大于或等于 0 对每个实数 x 都成立，计算器会给出整条实数轴作为答案。

求解不等式

在上方输入你的不等式，即可看到临界点、符号表和用区间表示的解。

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