方程组计算器

我们对题目的理解

含 2 个未知数 (x, y) 的 2 个线性方程。

分步解答

1. 1

   把每个方程写成标准形式

   把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$
2. 2

   构造增广矩阵 [A | b]

   各列：x, y | 常数。

   $$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$$
3. 3

   高斯–若尔当消元法

   用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。

4. 4

   R1 除以 2

   $$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$$
5. 5

   用 R1 中的主元消去 1 列

   $$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$$
6. 6

   R2 除以 -5/2

   $$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$
7. 7

   用 R2 中的主元消去 2 列

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$
8. 8

   简化行阶梯形

   $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$
9. 9

   读出唯一解

   $$x = 2,\ y = 1$$

所用公式

• 矩阵形式

  $$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

• 初等行变换

  $$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$$

方程组恰有一个解；代回后每个方程都成立。

验算

• 方程 1：2x + 3y = 7 ✓
• 方程 2：x - y = 1 ✓