线性代数

如何求矩阵的逆

Q: 为什么 AB 的逆等于 B 的逆乘以 A 的逆？

因为 AB 先作用 B，再作用 A。要撤销它，必须先撤销 A，再撤销 B，于是得到 B^(-1)A^(-1)。相乘即可验证 (AB)(B^(-1)A^(-1)) = I。

作者 MathSolver Pro Editorial Team · 发布于 2026年10月25日

方阵的逆能撤销矩阵所做的变换，就像除法撤销乘法一样。矩阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。本指南介绍快捷的 2 乘 2 公式、通用的高斯-若尔当方法，以及如何用逆矩阵解方程组。

什么是逆矩阵

对于数来说，5 的倒数是 $\frac{1}{5}$ ，因为 $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ 。矩阵没有除法，但有同样的思想。方阵 $A$ 的逆是满足下式的矩阵 $A^{-1}$ ：

AA^{-1} = A^{-1}A = I

这里 $I$ 是单位矩阵，相当于矩阵版的 1。如果 $A$ 描述一个变换，比如对平面做旋转和拉伸，那么 $A^{-1}$ 就是把一切恢复原位的变换。只有方阵才可能有逆，而且并不是所有方阵都有。有逆的矩阵称为可逆矩阵或非奇异矩阵；没有逆的称为奇异矩阵。

判断的依据是行列式： $A$ 可逆，当且仅当 $\det(A) \ne 0$ 。行列式为零意味着矩阵把空间压扁到更低的维度，不同的输入会落到同一个输出上，因此无法撤销这个变换。

2 乘 2 的公式

对于 $2 \times 2$ 矩阵有一个简短的公式：交换主对角线上的两个元素，把另外两个元素变号，再除以行列式。

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

例 1：求 2 乘 2 矩阵的逆

设 $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ 。它的行列式为 $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ ，不为零。
交换 4 和 6，并把 7 和 2 变号： $\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ 。
除以 10： $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$ 。
检验 $AA^{-1}$ 的第一行： $4(0.6) + 7(-0.2) = 1$ ， $4(-0.7) + 7(0.4) = 0$ 。用同样的方法，第二行得到 $0$ 和 $1$ ，所以乘积是 $I$ 。

相比之下， $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的行列式为 $4 - 4 = 0$ 。它的第一行是第二行的两倍，所以没有逆，公式会要求你除以零。

适用于任意大小的高斯-若尔当消元法

对于 $3 \times 3$ 及更大的矩阵，标准方法是高斯-若尔当消元法。把 $A$ 和单位矩阵并排写成增广矩阵 $[A \mid I]$ 。用行变换把左半部分化为 $I$ ，同样的变换会把右半部分变成 $A^{-1}$ 。如果左边出现全为零的一行，矩阵就是奇异的，没有逆。

例 2：一个 3 乘 3 矩阵的逆

设 $A$ 的行为 $(1, 2, 3)$ 、 $(0, 1, 4)$ 和 $(5, 6, 0)$ ，从 $[A \mid I]$ 开始。
第 3 行减去第 1 行的 5 倍：第 3 行左边部分变为 $(0, -4, -15)$ ，右边部分变为 $(-5, 0, 1)$ 。
第 3 行加上第 2 行的 4 倍：第 3 行变为 $(0, 0, 1 \mid -5, 4, 1)$ 。
第 2 行减去第 3 行的 4 倍：第 2 行变为 $(0, 1, 0 \mid 20, -15, -4)$ 。
第 1 行减去第 3 行的 3 倍：第 1 行变为 $(1, 2, 0 \mid 16, -12, -3)$ 。
第 1 行减去第 2 行的 2 倍：第 1 行变为 $(1, 0, 0 \mid -24, 18, 5)$ 。
所以 $A^{-1}$ 的行为 $(-24, 18, 5)$ 、 $(20, -15, -4)$ 和 $(-5, 4, 1)$ 。

这个矩阵的行列式恰好是 1，所以它的逆只含整数。大多数逆矩阵都含有分数，因此在计算过程中要把元素保留为分数，而不是四舍五入成小数。

伴随矩阵公式

还有一个推广了 $2 \times 2$ 规则的公式。把每个元素替换为它的代数余子式，即删去该元素所在的行和列后剩下的子矩阵的行列式再带上符号，然后把结果转置，得到伴随矩阵，记作 $\operatorname{adj}(A)$ ：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

伴随矩阵公式在理论上很有用，对元素简单的 $3 \times 3$ 矩阵也很方便，但一个 $3 \times 3$ 矩阵就需要计算九个 $2 \times 2$ 行列式，而且计算量随矩阵大小迅速增长。对于更大的矩阵，高斯-若尔当消元法才是实用的选择。

用逆矩阵解方程组

写成 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的线性方程组，可以在两边左乘 $A^{-1}$ 来求解，得到 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 。这与解 $5x = 10$ 时两边除以 5 是对应的。

例 3：用逆矩阵解方程组

解 $4x + 7y = 1$ 和 $2x + 6y = 2$ 。系数矩阵就是例 1 中的 $A$ 。
$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ ： $x = 0.6(1) - 0.7(2) = -0.8$ ， $y = -0.2(1) + 0.4(2) = 0.6$ 。
检验： $4(-0.8) + 7(0.6) = 1$ ， $2(-0.8) + 6(0.6) = 2$ 。

当你需要求解系数相同、但右边常数不同的多个方程组时，这种方法特别方便，因为逆矩阵只需计算一次。如果只有一个方程组，消元法通常更快，详见方程组解法。

逆矩阵的性质

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, \qquad (A^{-1})^{-1} = A

乘积的逆要把顺序颠倒，就像脱鞋袜的顺序与穿的顺序相反一样。
如果 $A$ 可逆，它的逆是唯一的。
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ 。
对于非零数 $k$ ， $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ 。
对角元素都不为零的对角矩阵，把每个对角元素取倒数就得到它的逆。

逆矩阵的实际应用

逆矩阵在理论上至关重要，也出现在许多应用中：在计算机图形学中，撤销相机变换就是应用它的逆；在密码学中，希尔密码用逆矩阵来解密信息；在统计学中，回归分析的最小二乘公式里就含有逆矩阵。

不过，数值计算软件很少仅仅为了解一个方程组而显式地求出逆矩阵。基于消元的方法更快，对舍入误差也不那么敏感，对于行列式接近零的近奇异矩阵尤其如此。逆矩阵计算器用精确的分数显示高斯-若尔当消元的每一步，矩阵计算器则可以让你验证 $AA^{-1}$ 确实等于单位矩阵。

2 乘 2 公式为什么成立

这个公式很容易验证，弄清它为什么成立也更便于记忆。把原矩阵与交换并变号后的矩阵相乘：

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix}

结果是行列式乘以单位矩阵。除以行列式后恰好剩下单位矩阵，这正是逆矩阵应有的结果。这个计算也说明了为什么行列式为零是致命的：此时乘积是零矩阵，无论怎样缩放都不能把它变成单位矩阵。

求逆时的常见错误

在 $2 \times 2$ 公式中把主对角线元素变号，而不是交换它们。
最后忘记除以行列式。
对 $[A \mid I]$ 的左半部分做了行变换，却没有对右半部分做同样的变换。
把 $\mathbf{b}$ 乘在错误的一侧：解是 $A^{-1}\mathbf{b}$ ，而 $\mathbf{b}A^{-1}$ 通常根本没有定义。
过早地把分数四舍五入成小数，导致最后检验时不能精确地得到单位矩阵。

这些错误都能用同一个习惯发现：在继续之前，先用原矩阵乘以你的答案。这个检验只需一分钟，比以后重做整个计算快得多。

练习题

先自己做，再看答案。第一题，求行为 $(2, 1)$ 和 $(5, 3)$ 的矩阵的逆。它的行列式为 $6 - 5 = 1$ ，所以逆矩阵就是交换并变号后的矩阵，其行为 $(3, -1)$ 和 $(-5, 2)$ 。第二题，判断行为 $(3, 6)$ 和 $(1, 2)$ 的矩阵是否可逆。它的行列式为 $6 - 6 = 0$ ，所以是奇异矩阵。第三题，求对角元素为 2、4 和 5 的对角矩阵的逆：逆矩阵的对角元素是二分之一、四分之一和五分之一。最后，用第一题的答案解 $2x + y = 4$ 和 $5x + 3y = 11$ ：用逆矩阵乘以常数项，得到 $x = 3(4) - 11 = 1$ 和 $y = -5(4) + 2(11) = 2$ ，两个方程都能验证成立。

常见问题

怎样快速判断一个矩阵是否有逆？

计算它的行列式。如果行列式不为零，逆矩阵就存在。如果行列式为零，例如因为某一行是另一行的倍数，矩阵就是奇异的。

非方阵可以有逆吗？

不能有双侧逆。长方形矩阵可以有单侧逆或伪逆，用于最小二乘问题，但普通的逆只对方阵有定义。

怎样检验求出的逆矩阵是否正确？

用原矩阵乘以你的答案。如果乘积是单位矩阵，逆矩阵就是对的。只检验乘积的一行，往往就能很快发现错误。

为什么 AB 的逆等于 B 的逆乘以 A 的逆？

因为 $AB$ 先作用 $B$ ，再作用 $A$ 。要撤销它，必须先撤销 $A$ ，再撤销 $B$ ，于是得到 $B^{-1}A^{-1}$ 。相乘即可验证 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ 。

求逆矩阵是解线性方程组的最佳方法吗？

对于单个方程组，通常不是。消元法用更少的运算、更小的舍入误差就能求出解。当许多方程组共用同一个系数矩阵时，求逆矩阵才划算。

MathSolver Pro Editorial Team

数学内容与审核

我们的编辑团队撰写每一篇指南时，都力求讲清每种方法背后的道理，而不只是给出答案。每道例题在发布前都会用本站自己的求解引擎和自动化测试进行核对；每当某种方法或考试形式发生变化，文章也会随之修订。