线性代数

矩阵基础：矩阵入门指南

Q: 怎样判断两个矩阵能否相乘？

把它们的大小并排写出，例如 2 × 3 和 3 × 4。如果中间的两个数相同，乘积就存在，其大小由外侧的两个数给出，这里是 2 × 4。

Q: 矩阵乘法的顺序重要吗？

重要。一般来说 AB ne BA，有时两个乘积中只有一个有定义。一定要记清哪个矩阵在左边。

Q: 矩阵的“m 乘 n”是什么意思？

它表示大小：m 行、n 列，行数写在前面。3 × 2 矩阵有三行两列。

作者 MathSolver Pro Editorial Team · 发布于 2026年10月25日

矩阵是按行和列排列的矩形数表。矩阵可以紧凑地存储数据，更重要的是，它可以表示线性变换和方程组。本指南介绍矩阵的记号和核心运算，并特别讲解矩阵乘法。

什么是矩阵

矩阵是按行和列排列的矩形数阵，其中的数称为元素。有 $m$ 行、 $n$ 列的矩阵，其大小为 $m \times n$ ，读作“m 乘 n”，总是先说行数。矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记作 $a_{ij}$ 。例如：

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{是 } 2 \times 3, \text{，其中 } a_{12} = -1 \text{ 且 } a_{23} = 5

只有一列的矩阵是列向量，只有一行的矩阵是行向量。行数与列数相同的矩阵是方阵；只有方阵才可能有行列式和逆矩阵。两个矩阵只有在大小相同、并且每个对应元素都相等时才相等。

矩阵加法与数乘

大小相同的矩阵按元素逐个相加： $A + B$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $a_{ij} + b_{ij}$ 。减法也是如此。大小不同的矩阵根本不能相加，因为无法合理地把它们的元素一一配对。

用一个标量（即普通的数）乘矩阵，就是把每个元素都乘以这个数。这些运算的规律与普通算术完全一样：加法满足交换律和结合律，并且 $k(A + B) = kA + kB$ 。

例 1：线性组合

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ 。
$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ 。
$2A - B = \begin{pmatrix} 2 - 0 & 4 - 5 \\ 6 + 2 & 8 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$ 。

矩阵乘法：行乘列

矩阵乘法不是按元素逐个相乘。乘积 $AB$ 的每个元素是 $A$ 的某一行与 $B$ 的某一列的点积：

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

这要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。如果 $A$ 是 $m \times n$ ， $B$ 是 $n \times p$ ，乘积就是 $m \times p$ 。一个快速检查的办法是把两个大小并排写出：中间的两个数必须相同，外侧的两个数给出结果的大小。 $2 \times 3$ 矩阵乘以 $3 \times 4$ 矩阵得到 $2 \times 4$ 矩阵，但 $2 \times 3$ 矩阵乘以另一个 $2 \times 3$ 矩阵是没有定义的。

例 2：两个 2 乘 2 矩阵相乘

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ 。
$A$ 的第 1 行与 $B$ 的第 1 列： $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ 。
第 1 行与第 2 列： $1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$ 。
第 2 行与第 1 列： $3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$ 。第 2 行与第 2 列： $3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$ 。
所以 $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ 。

顺序很重要：AB 通常不等于 BA

把上例中的顺序颠倒，得到 $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$ ，这是一个不同的矩阵。矩阵乘法不满足交换律。对于非方阵，情况可能更糟：一种顺序有定义而另一种没有，或者两个乘积的大小不同。

其他一些熟悉的规律仍然成立。乘法满足结合律 $(AB)C = A(BC)$ ，并对加法满足分配律 $A(B + C) = AB + AC$ 。不过有两点值得记住。两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵；而且除非 $A$ 可逆，否则不能由 $AB = AC$ 消去 $A$ 。因此，矩阵的代数运算比数的代数运算需要更加小心。

展开 $(A + B)^2$ 这类表达式时，要保持顺序：结果是 $A^2 + AB + BA + B^2$ ，而不是 $A^2 + 2AB + B^2$ 。

单位矩阵与转置

单位矩阵 $I$ 是主对角线上全为一、其余位置全为零的方阵。它的作用相当于普通算术中的数 1：对任何大小匹配的方阵 $A$ ，都有 $AI = IA = A$ 。所有元素都为零的零矩阵则相当于 0。

转置 $A^T$ 把行和列互换，所以 $A^T$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $a_{ji}$ 。 $2 \times 3$ 矩阵转置后变为 $3 \times 2$ 。一条有用的规则是：乘积的转置要把顺序颠倒：

(AB)^T = B^T A^T

等于自身转置的矩阵称为对称矩阵。对称矩阵在统计学和物理学中随处可见，它们的特征值性质特别好，总是实数。

矩阵与方程组

矩阵最重要的用途之一，是把线性方程组写得很紧凑。方程组 $2x + y = 5$ 和 $x - 3y = -1$ 可以写成：

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \text{或 } A\mathbf{x} = \mathbf{b}

把左边乘开，正好还原出这两个方程，这是检查矩阵是否列对的好办法。它的解是 $x = 2$ ， $y = 1$ 。把方程组写成这种形式后，同样的方法（行化简或逆矩阵）既能解两个方程，也能解两千个方程。我们的方程组解法指南介绍了手算方法，方程组计算器则能逐步求解。

矩阵的应用

计算机图形学：3D 模型的旋转、缩放和投影，就是对每个顶点做矩阵乘法。
数据科学：数据集就是一个矩阵，每个观测占一行，每个变量占一列，主成分分析等技术直接对它进行运算。
网络：邻接矩阵记录哪些节点相连，它的幂可以统计给定长度的路径数。
经济学与工程：投入产出模型和电路分析会产生大型线性方程组。
机器学习：神经网络的各层主要就是矩阵乘法。

矩阵计算器可以对任意大小相容的矩阵做加法、乘法和转置，并显示每一次行乘列的计算过程，用来检查作业很方便。

矩阵的幂与对角矩阵

方阵可以与自身相乘，所以 $A^2 = AA$ 、 $A^3 = AAA$ 这样的幂是有意义的。非方阵没有幂，因为大小不匹配。只要一个过程不断重复，就会出现矩阵的幂：如果一个矩阵描述了一年内人口在各地区之间如何流动，它的十次幂就描述了十年间的流动情况。

对角矩阵的非零元素只出现在主对角线上，用起来特别方便。两个对角矩阵相乘，只需把对角线上的元素相乘；所以对角矩阵的幂，就是把每个对角元素都取相应的幂。例如，对角元素为 2 和 3 的对角矩阵，其平方是对角元素为 4 和 9 的对角矩阵。高等线性代数的很大一部分内容，就是把矩阵改写成对角形式，使这类计算变得简单。

矩阵的常见错误

说明大小时把行和列弄混。行数总是在前。
按元素逐个相乘，而不是行乘列。
以为 $AB = BA$ ，或者在化简表达式时随意调换因子的顺序。
试图把大小不同的矩阵相加，或者把中间维数不匹配的矩阵相乘。
忘记乘积的转置要把因子的顺序颠倒。

在任何计算之前先快速检查大小，就能发现大多数这类错误。在每个矩阵下面写出它的大小，确认运算有定义，并在算出任何一个元素之前先预测答案的大小。

常见问题

怎样判断两个矩阵能否相乘？

把它们的大小并排写出，例如 $2 \times 3$ 和 $3 \times 4$ 。如果中间的两个数相同，乘积就存在，其大小由外侧的两个数给出，这里是 $2 \times 4$ 。

矩阵乘法为什么不按元素逐个相乘？

因为行乘列的规则使乘积表示先做一个线性变换、再做另一个线性变换。按元素相乘的运算也存在，称为阿达马积，但它没有这种含义。

矩阵乘法的顺序重要吗？

重要。一般来说 $AB \ne BA$ ，有时两个乘积中只有一个有定义。一定要记清哪个矩阵在左边。

矩阵的“m 乘 n”是什么意思？

它表示大小： $m$ 行、 $n$ 列，行数写在前面。 $3 \times 2$ 矩阵有三行两列。

两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？

可能。例如，第一行为 0、1，第二行为 0、0 的矩阵与自身相乘，得到零矩阵。这也是不能总是从方程两边约去一个矩阵的原因之一。

MathSolver Pro Editorial Team

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