行列式计算器：2×2、3×3 及更大矩阵，附步骤

关于行列式计算器

行列式把一个方阵浓缩成一个数，而这个数能同时回答好几个重要问题。矩阵可逆吗？它所代表的线性方程组有唯一解吗？这个变换把面积或体积放大多少倍，是否翻转了方向？这些答案都可以从行列式中读出。

这个计算器可以求任何实用大小的方阵的行列式。它会选择教科书采用的方法： $2 \times 2$ 矩阵用交叉相乘法则， $3 \times 3$ 矩阵按第一行展开， $4 \times 4$ 及更大的矩阵则消元化为上三角形。分数和小数都会转换为精确分数，所以答案是精确的。

什么是行列式？

行列式是对每个方阵都有定义的一个数 $\det(A)$ ，也记作 $|A|$ 。对于 $2 \times 2$ 矩阵，它等于 $ad - bc$ 。对于更大的矩阵，它由余子式展开递归地定义，或者等价地定义为对列的所有排列所作的带符号求和。

从几何上看， $|\det(A)|$ 是线性映射 $A$ 在二维中放大面积、在三维中放大体积的倍数。行列式为负表示该映射像反射一样翻转了方向；行列式为零表示该映射把空间压缩到更低的维数。

如何使用行列式计算器

输入一个方阵，同一行的元素之间用空格分隔，行与行之间用分号分隔，例如 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5。
点击“求行列式”。
查看针对你的矩阵大小所用的方法以及每个中间值。
检查行列式是否为零，以判断矩阵是否可逆。

公式

2×2 行列式

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

余子式展开（第一行）

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

乘积法则

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

三角矩阵

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

例题详解: 3×3 矩阵

例题按第一行展开，求以 $(2, -3, 1)$ 、 $(2, 0, -1)$ 和 $(1, 4, 5)$ 为行的 $3 \times 3$ 矩阵的行列式。第一行的每个元素都乘以删去它所在行和列后剩下的 $2 \times 2$ 子式，符号依次为 $+$ 、 $-$ 、 $+$ 。

这些子式的值分别为 4、11 和 8，所以行列式为 $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ 。值不为零，说明这个矩阵可逆。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\det A = 49

我们对题目的理解

求 3×3 矩阵的行列式。

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

分步解答

读取 3×3 矩阵
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
按第一行展开（余子式展开）
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
计算每个 2×2 子式
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
按交替符号 + − + 组合
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

所用公式

2×2 行列式
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
余子式展开
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

行列式为 49，不为零，所以该矩阵可逆，且各行线性无关。

验算

用分数精确计算；行化简得到相同的值 49。

详细讲解

余子式展开

余子式 $M_{ij}$ 是删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的矩阵的行列式。代数余子式再附上符号 $(-1)^{i+j}$ ，这些符号呈棋盘状分布，左上角为 $+$ 。沿任意一行或一列展开结果都相同，所以手算时最好选择含有零的行或列。

余子式展开非常适合 $3 \times 3$ 矩阵，但计算量增长得很快： $4 \times 4$ 的展开需要四个 $3 \times 3$ 行列式，而 $10 \times 10$ 的展开会需要数百万项。这就是计算器对更大的矩阵改用其他方法的原因。

行化简为三角形

把某一行的倍数加到另一行不改变行列式，交换两行会改变它的符号，把某一行乘以一个数，行列式也乘以同一个数。利用这些规则，计算器消去每个主元下方的元素，直到矩阵成为上三角矩阵，然后把对角线元素相乘。对于以 $(1, 0, 2, 0)$ 、 $(0, 3, 0, 1)$ 、 $(2, 0, 1, 0)$ 和 $(0, 1, 0, 2)$ 为行的 $4 \times 4$ 矩阵，这样得到 $-15$ 。

行列式为零意味着什么

行列式为零意味着各行线性相关：至少有一行是其他行的组合。这样的矩阵没有逆矩阵，方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 要么无解，要么有无穷多解。以 $(1, 2, 3)$ 、 $(4, 5, 6)$ 和 $(7, 8, 9)$ 为行的矩阵是经典例子；它的行列式为 0，因为中间一行是另外两行的平均。

行列式还出现在求解小型方程组的克拉默法则中，出现在特征多项式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 中（它的根就是特征值），也出现在重积分的换元公式中。

常见错误

算成 $ad + bc$ 或 $ab - cd$ ，而不是 $ad - bc$ 。
在余子式展开中忘记交替的符号。
删错了行或列，用错了子式。
行化简时交换两行后忽略了符号的改变。
试图求非方阵的行列式。

小贴士

沿零最多的行或列展开。
先从某一行中提出公因数；行列式会乘以同一个数。
如果两行相等或成比例，不必再算，行列式就是 0。
利用 $\det(A^{T}) = \det(A)$ ，在更方便时沿某一列展开。
当行列式不为零且需要 $A^{-1}$ 时，使用逆矩阵计算器。
使用特征值计算器，它以 $\det(A - \lambda I)$ 为基础。

常见问题

怎样求 2×2 矩阵的行列式？

把主对角线上的元素相乘，再减去另一条对角线上元素的乘积：对于行 (a, b) 和 (c, d)，行列式为 ad − bc。

怎样求 3×3 矩阵的行列式？

沿某一行展开：每个元素乘以它的 2×2 子式，配上符号 +、−、+，再相加。计算器会显示每个子式和最终的和。

4×4 及更大的矩阵用什么方法？

先用行化简化为上三角形，再把对角线元素相乘。对于大矩阵，这比余子式展开快得多。

行列式为零意味着什么？

矩阵是奇异的：它的各行线性相关，没有逆矩阵，相应的线性方程组没有唯一解。

行列式可以是负数吗？

可以。行列式为负表示变换翻转了方向。它的绝对值仍然是面积或体积的缩放倍数。

可以求非方阵的行列式吗？

不可以。行列式只对方阵有定义，对于非方阵的输入，计算器会报告它的大小。

支持分数吗？

支持。分数和小数都会转换为精确分数，所以行列式是精确的。

求出你的行列式

在上方输入一个方阵，即可看到行列式以及所用方法的每一步。

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