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叉积计算器

输入两个三维向量，即可用行列式法求出它们的叉积，得到它的模，即两向量所张成平行四边形的面积，并检验它同时垂直于两个向量。

分量用逗号或空格分隔，例如 1, -2, 3/4。

分量用逗号或空格分隔，例如 1, -2, 3/4。

示例

关于叉积计算器

叉积以空间中的两个向量为输入，得到同时垂直于这两个向量的第三个向量。它是求平面法向量、计算 3D 中平行四边形或三角形面积的标准方法，也用来描述物理学中的转动量，例如力矩和角动量。

这个计算器对三维向量计算 u×v\mathbf{u} \times \mathbf{v}，采用大家熟悉的行列式写法，第一行是 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}。它分别显示每个分量，包括最容易出错的中间项的变号，然后给出模，并确认结果与两个输入向量都正交。

什么是叉积？

对于向量 u=⟨u1,u2,u3⟩\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle 和 v=⟨v1,v2,v3⟩\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle，叉积是向量 ⟨u2v3−u3v2,  u3v1−u1v3,  u1v2−u2v1⟩\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle。它对三维向量有定义，结果仍是一个三维向量。

它的方向同时垂直于 u\mathbf{u} 和 v\mathbf{v}，由右手定则确定：右手四指从 u\mathbf{u} 弯向 v\mathbf{v}，拇指所指的就是 u×v\mathbf{u} \times \mathbf{v} 的方向。它的长度是 ∣u∣ ∣v∣sin⁡θ|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta，即两个向量所张成平行四边形的面积。

如何使用叉积计算器

  1. 输入第一个向量的三个分量，用逗号分隔，例如 1, 2, 3。
  2. 输入第二个向量的三个分量。
  3. 点击“计算”。
  4. 查看 i、j、k 三个分量以及所得的向量。
  5. 用模这一步求面积，并用正交性检验确认结果。

公式

行列式形式

u×v=∣ijku1u2u3v1v2v3∣\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

模

∣u×v∣=∣u∣ ∣v∣sin⁡θ|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

反交换律

v×u=−(u×v)\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

三角形面积

A=12 ∣u×v∣A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

例题详解: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

例题求 u=⟨1,2,3⟩\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle 与 v=⟨4,5,6⟩\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle 的叉积。i\mathbf{i} 分量为 2⋅6−3⋅5=−32 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3；j\mathbf{j} 分量为 −(1⋅6−3⋅4)=6-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6；k\mathbf{k} 分量为 1⋅5−2⋅4=−31 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3。

所以 u×v=⟨−3,6,−3⟩\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle，它的模为 54=36≈7.348\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348，即两个向量所张成平行四边形的面积。它与每个输入向量的点积都为 0，证实它同时垂直于两者。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

u×v=⟨−3,6,−3⟩u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

我们对题目的理解

两个 3D 向量的叉积。

⟨1,2,3⟩×⟨4,5,6⟩\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

分步解答

  1. 写出第一行为单位向量 i, j, k 的行列式

    u×v=∣ijk123456∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}

  2. i 分量

    (2)(6)−(3)(5)=−3(2)(6) - (3)(5) = -3

  3. j 分量（注意展开式中的负号）

    −((1)(6)−(3)(4))=6-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6

  4. k 分量

    (1)(5)−(2)(4)=−3(1)(5) - (2)(4) = -3

  5. 模 = 由 u 和 v 张成的平行四边形面积

    ∣u×v∣=54=36≈7.348469228|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228

  6. 检验正交性

    (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0

所用公式

  • 叉积

    u×v=⟨u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1⟩u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle

  • 模

    ∣u×v∣=∣u∣∣v∣sin⁡θ|u \times v| = |u||v|\sin\theta

结果同时垂直于 u 和 v；它的长度 3√6 ≈ 7.348469228 等于两向量所张成平行四边形的面积（三角形面积是它的一半）。

验算

  • 结果同时垂直于两个输入向量（两个点积都为 0)）。

详细讲解

行列式法

把单位向量写在 3×33 \times 3 行列式的第一行，再沿这一行展开，是记住这个公式最简单的方法。每个分量都是由不属于该单位向量的那些列组成的 2×22 \times 2 行列式。中间项因代数余子式的符号规律 +,−,++, -, + 而带有负号，所以计算器会专门标出它。

叉积对加法满足分配律，u×(v+w)=u×v+u×w\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}，把任一输入向量乘以一个数，结果也乘以这个数。但它不满足结合律：(u×v)×w(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w} 与 u×(v×w)\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) 一般是不同的向量。对于 ⟨1,2,0⟩\langle 1, 2, 0 \rangle 和 ⟨3,4,0⟩\langle 3, 4, 0 \rangle 这样的平面向量，结果 ⟨0,0,−2⟩\langle 0, 0, -2 \rangle 沿 zz 轴竖直向下，它的长度 2 就是平面上平行四边形的面积。

几何意义

叉积的模等于以 u\mathbf{u} 和 v\mathbf{v} 为边的平行四边形的面积，所以它的一半就是这两个向量构成的三角形的面积。对于顶点为 PP、QQ 和 RR 的三角形，求 PQ→\overrightarrow{PQ} 与 PR→\overrightarrow{PR} 的叉积，再取其长度的一半。

如果两个向量平行，平行四边形就退化了，叉积为零向量。对于 ⟨1,2,3⟩\langle 1, 2, 3 \rangle 和 ⟨2,4,6⟩\langle 2, 4, 6 \rangle，计算器返回 ⟨0,0,0⟩\langle 0, 0, 0 \rangle，这是检验向量是否平行的快捷方法。

法向量、平面与物理

求平面内两个方向向量的叉积，就得到该平面的一个法向量；再知道平面上的一个点，就能写出平面方程 a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0。在计算机图形学中，同样的计算用来得到光照所需的表面法向量。

在物理学中，力矩为 τ=r×F\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}，运动电荷所受的磁场力为 q v×Bq\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}。在每种情形下，结果都垂直于两个输入向量所在的平面，与右手定则的预测一致。

常见错误

  • 忘记 j\mathbf{j} 分量上的负号。
  • 以为 u×v=v×u\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}；交换顺序会使方向相反。
  • 对二维向量求叉积时，没有先补上为零的第三个分量。
  • 把叉积和返回一个数的点积混淆。
  • 求三角形面积时忘记把模减半。

小贴士

  • 用你的答案分别与两个输入向量求点积来检验；两个结果都必须为 0。
  • 用 i×j=k\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}、j×k=i\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} 和 k×i=j\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} 帮助记忆。
  • 对于 2D 向量，第三个分量输入 0；这样答案就沿 zz 轴方向。
  • 用点积计算器求两个向量的夹角。
  • 用行列式计算器把混合积 u⋅(v×w)\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) 当作 3×33 \times 3 行列式来计算。
  • 计算前先画出两个向量，用右手定则预判每个分量的符号。

常见问题

怎样计算叉积？

把 i、j、k 放在 3×3 行列式的第一行，两个向量放在后面两行，然后沿第一行展开。记住 j 分量上的负号。

叉积的模表示什么？

两个向量所张成平行四边形的面积。它的一半就是这两个向量构成的三角形的面积。

叉积满足交换律吗？

不满足。交换顺序会使方向相反：v × u = −(u × v)。

可以求 2D 向量的叉积吗？

不能直接求；叉积是对三个分量定义的。给每个向量补上 0 作为第三个分量，结果就会沿 z 轴方向。

叉积为零意味着什么？

两个向量平行（或其中一个是零向量），所以它们张成的面积为零。

怎样检验叉积？

用它分别与两个原向量求点积。两个结果都应为零，因为叉积同时垂直于两个输入向量。计算器会替你完成这项检验。

怎样求平面的法向量？

在平面内取两个不平行的向量，计算它们的叉积。结果就垂直于该平面。

计算你的叉积

在上方输入两个 3D 向量，即可得到它们的叉积、模以及正交性检验。

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