余弦定理计算器：解边角边与边边边三角形

Q: 什么时候应该用余弦定理？

当你知道两边及其夹角（边角边）或三条边（边边边）时。在这些情形中，没有哪条边与它的对角同时已知，所以无法从正弦定理入手。

Q: 怎样用余弦定理求角？

把它变形为 cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)，代入三条边，再取反余弦。

Q: 余弦定理与勾股定理有什么关系？

当角 C 为 90° 时，cos C 等于 0，公式变为 c² = a² + b²。余弦定理是适用于任意三角形的一般形式。

Q: 如果我的三条边构不成三角形怎么办？

计算器会检验三角形不等式，如果某条边不短于另外两条边之和，就会报错，例如边长为 1、2 和 5 时。

Q: 三角形的结果是精确值还是近似值？

当第三边是平方根时，会以精确形式显示，例如 √39 或 2√19，同时给出小数值。角以小数形式的度数给出。

Q: 面积是怎样计算的？

用公式 面积 = ½ab sin C，即利用两边及其夹角。在边边边模式下，会先求出这个角。

Q: 余弦定理会给出两个三角形吗？

不会。边角边和边边边的条件总是确定唯一的三角形。可能有两个三角形的歧义情形，只出现在边边角的条件和正弦定理中。

关于余弦定理计算器

直角三角形可以用勾股定理和基本的三角函数求解，但测量、导航、工程和物理中的大多数三角形并没有直角。余弦定理把勾股定理推广到了所有三角形；当你知道两边及其夹角，或者知道三条边却不知道任何角时，就该用它。

这个计算器两种情形都能处理。在边角边模式下，它先求第三边，如果存在精确根式（例如 $\sqrt{39}$ ）就保留根式，再求其余两个角。在边边边模式下，它先检验三条边能否构成三角形，再求出全部三个角。两种模式最后都会给出面积。

什么是余弦定理？

在三角形中，设边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别与角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 相对，余弦定理指出 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 。每条边与它的对角之间都有同样的关系。

当 $C = 90°$ 时， $\cos C = 0$ ，公式化为 $c^2 = a^2 + b^2$ ，也就是勾股定理。多出来的一项 $-2ab\cos C$ 是对角度的修正： $C$ 为锐角时它使 $c$ 变短， $C$ 为钝角时则使它变长，因为钝角的余弦是负数。

如何使用余弦定理计算器

选择边角边（两边及其夹角）或边边边（三条边）。
输入边 $a$ 和 $b$ 。
在边角边模式下，输入夹角 $C$ （单位为度）；在边边边模式下，输入第三边 $c$ 。
点击“解三角形”，查看未知的边或角，以及面积。
检验结果：三个角之和应为 180°，最大的角应对着最长的边。

公式

余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

求角的形式

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

三角形内角和

A + B + C = 180^\circ

面积（边角边）

K = \tfrac12 ab\sin C

例题详解: a = 5, b = 7, C = 60°

例题中 $a = 5$ ， $b = 7$ ，夹角 $C = 60°$ 。由于 $\cos 60° = \frac12$ ，公式给出 $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ ，所以 $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ 。

接着，引擎用变形后的余弦定理求出角 $A$ ，约为 $43.898°$ ，再由内角和求出角 $B$ ，约为 $76.102°$ 。面积为 $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

我们对题目的理解

边角边：求第三边和其余两个角

分步解答

代入 c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
开平方
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
用变形后的余弦定理求角 A
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
三角形内角和为 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
由两边及其夹角求面积
$\text{面积} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

所用公式

余弦定理
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
解出一个角
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
面积
$\text{面积} = \tfrac12 ab\sin C$

三角形的边为 a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998，角为 A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°。它是一个锐角不等边三角形，面积为 ≈ 15.155445，周长为 ≈ 18.244998。

验算

A + B + C = 180°.
海伦公式给出相同的面积：15.155445。
正弦定理的比值：a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026。

详细讲解

解边角边三角形

已知两边及其夹角时，余弦定理直接给出第三边。这样的三角形只有一个，所以不存在歧义。三条边都已知后，用变形后的公式依次求出各个角。计算器求第二个角时用余弦定理而不用正弦定理，因为余弦公式不会把一个锐角与它的钝角补角混淆。

夹角为钝角时方法完全一样。取 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $C = 120°$ ，有 $\cos 120° = -\frac12$ ，所以 $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ ， $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ ，正如预期，它比已知的两边都长。

解边边边三角形

三条线段能构成三角形，当且仅当任意两条之和大于第三条，这就是三角形不等式。计算器首先检验这一点：边长 1、2 和 5 会被拒绝，因为 $1 + 2 < 5$ 。对于有效的边长，它先后用变形后的公式求出角 $C$ 和角 $A$ ，再由内角和求出 $B$ 。把最长的边输入为 $c$ ，求出的第一个角就能告诉你三角形是锐角、直角还是钝角三角形：边长 3、4 和 5 给出 $C = 90°$ 。

用余弦定理还是正弦定理？

边角边和边边边的情形没有已知的“边与对角”组合，应当用余弦定理。角边角、角角边和边边角的情形中，至少有一条边与它的对角同时已知，应当用正弦定理。边边角的情形可能有两个解；而余弦定理适用的情形永远不会出现两个解，所以在可以选择时，它是更可靠的出发点。

常见错误

在边角边模式下，使用的角并不是两条已知边的夹角。
漏掉 $2ab\cos C$ 中的因数 2。
角以度为单位，计算器却仍处于弧度模式。
先减去 $2ab$ 再乘以 $\cos C$ ，违反了运算顺序。
跳过三角形不等式的检验，结果得到一个大于 1 的不可能的余弦值。

小贴士

给三角形标字母时，让未知边为 $c$ ，已知角为 $C$ 。
最大的角总是对着最长的边；可以用这一点检验答案。
保留 $\sqrt{39}$ 这样的精确值直到最后一步，避免舍入误差累积。
用单位圆计算器回忆特殊角余弦的精确值。
对于直角三角形，用距离公式和勾股定理更快。

常见问题

什么时候应该用余弦定理？