三角恒等式计算器

统一化为正弦和余弦的策略

每个三角函数都可以用正弦和余弦表示，所以把一切都化成这两个函数，就让恒等式的两边有了共同的语言。正切、余切、正割和余割都变成了分式，问题就变成了关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的分式问题。

两边都是分式之后，把它们相减并通分，恒等式就变成了一个单一的命题：某个分子必须为零。分母不需要再进一步考察，因为它们只记录了原式在哪些地方没有意义。

最后一个障碍是 $\sin x$ 和 $\cos x$ 并不独立，它们由 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 联系在一起。把余弦的每个偶次幂都换成 $1 - \sin^2 x$ 的幂，就消除了偶次幂中的这种联系。合并同类项之后，真正的恒等式会什么也不剩。正因如此，对于它所接受的式子，这种方法总能得出明确的结论，而不像“选定一边、逐步变形”那样靠反复试错。

倍角与平移

像 $2x$ 和 $3x$ 这样的角，先展开成关于 $x$ 本身的函数。二倍角公式给出 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$，反复使用和角公式可得 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$。计算器用与其他输入完全相同的流程验证了这个恒等式，以及 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$。

平移 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数时，使用诱导公式处理。一般地，计算器接受形如 $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ 的角，其中 $k$ 和 $m$ 为整数。像 $\frac{x}{2}$ 这样的半角，以及 $x + 1$ 这样的任意平移，无法化为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的多项式，所以计算器会说明原因并拒绝处理，而不是给出不可靠的证明。

计算器只处理一个变量。像 $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ 这样的和角公式涉及两个独立的角，超出了它的范围；它会如实说明，而不会尝试证明。

否定一个等式

如果分子不能化为零，这个等式就不是恒等式。为了让结论具体可见，计算器会在一个样本角处计算两边的值，说明它们不相等。对于常见的错误 $\sin 2x = 2\sin x$，它会指出在 $x = 30°$ 时左边约为 $0.866$，而右边是 $1$。

一个反例就足以否定恒等式，但无论多少个相符的例子都不能证明它。两个式子可能碰巧在许多角上相等。所以计算器的证明是代数证明；在图像上检查几个值可以作为合理性检验，但不能代替证明。

化简三角函数式

没有等号时，计算器把式子化为正弦和余弦，合并成一个分式，利用平方关系并约去公因式，再把结果与标准形式比较。对于 $\tan x + \cot x$，合并后的分式 $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ 化简为 $\frac{1}{\sin x\cos x}$，计算器识别出它就是 $\sec x\csc x$。

在三角函数中，正确的最简形式很少只有一种。$\sec x\csc x$、$\frac{1}{\sin x\cos x}$ 和 $\frac{2}{\sin 2x}$ 都是等价的。计算器选取一种简洁的标准形式，步骤中也会显示中间的分式，你可以停在课程要求的那种形式上。

手写证明

老师常常要求把一边变形成另一边，而不是两边相减，因为同时对两边操作可能掩盖平方这类不等价的步骤。计算器的步骤可以直接改写成这种格式：从较复杂的一边开始，化为正弦和余弦，合并分式，按需要的方向使用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，一直化简到与另一边相同为止。

常用的技巧包括：乘以共轭式，例如证明 $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$；用平方差公式分解，例如 $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$；以及把一个分式拆成几项。计算器能确认这两个恒等式都成立，你就可以专心把论证写得清楚整洁。