单位圆：弧度、参考角与三角函数精确值

什么是单位圆

单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆，方程为 $x^2 + y^2 = 1$。角从 x 轴正半轴开始度量，正角按逆时针方向，负角按顺时针方向。角的起始边称为始边，终止边称为终边。

对任意角 $\theta$，它的终边与圆恰好交于一点。单位圆之所以如此有用，关键在于这样一个定义：该点的坐标是 $(\cos\theta, \sin\theta)$。正切则是两者之比：

对于锐角，这与你可能已经熟悉的直角三角形定义一致。从该点向 x 轴作垂线，就得到一个斜边为 1、邻边为 $x$、对边为 $y$ 的直角三角形。所以 $\cos\theta = \frac{x}{1}$，$\sin\theta = \frac{y}{1}$。单位圆把这些定义推广到了所有角，包括钝角、负角和非常大的角。

角度与弧度

转一整圈是 $360^\circ$，即 $2\pi$ 弧度。一弧度是所对弧长等于半径的角。在半径为 1 的单位圆上，一个角的弧度数恰好等于它所对的弧长，这就是弧度成为微积分中自然单位的原因。

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$，$45^\circ = \frac{\pi}{4}$，$60^\circ = \frac{\pi}{3}$，$90^\circ = \frac{\pi}{2}$。
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$。
• $\frac{7\pi}{4}$ 弧度 $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$。
• 一弧度约为 $57.3^\circ$。

第一象限的特殊角

有三个角的精确值来自两个熟悉的三角形。$45^\circ$ 角来自斜边为 1 的等腰直角三角形，它的两条直角边都是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。$30^\circ$ 和 $60^\circ$ 角来自边长为 1 的等边三角形的一半，其直角边分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

• $0$：点 $(1, 0)$，所以 $\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$。
• $\frac{\pi}{6}$：点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$，所以 $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
• $\frac{\pi}{4}$：点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，所以 $\tan\frac{\pi}{4} = 1$。
• $\frac{\pi}{3}$：点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，所以 $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$。
• $\frac{\pi}{2}$：点 $(0, 1)$，所以 $\sin\frac{\pi}{2} = 1$，而 $\tan\frac{\pi}{2}$ 无定义。

有一个便于记忆的规律：$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ 的正弦值依次是 $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$，而余弦值是同一列数倒过来。每个点也都满足 $x^2 + y^2 = 1$；例如 $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$。

参考角与其他象限

你不需要把十六个标准点逐一死记。每个角都有一个参考角：它的终边与 x 轴所夹的锐角。一个角的坐标与其参考角的坐标大小相同，只是符号随所在象限而变化。

• 第一象限（$0$ 到 $\frac{\pi}{2}$）：$x$ 和 $y$ 都为正，所以三个函数都为正。
• 第二象限（$\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$）：$x$ 为负，$y$ 为正，所以只有正弦为正。
• 第三象限（$\pi$ 到 $\frac{3\pi}{2}$）：两者都为负，所以只有正切为正。
• 第四象限（$\frac{3\pi}{2}$ 到 $2\pi$）：$x$ 为正，$y$ 为负，所以只有余弦为正。

同理，$\frac{3\pi}{4}$ 在第二象限，参考角为 $\frac{\pi}{4}$，对应的点是 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，且 $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$。

负角与超过一圈的角

加上或减去一整圈 $2\pi$ 会落在同一个点上，所以正弦和余弦每隔 $2\pi$ 重复一次。终边重合的角称为终边相同的角（共终边角）。要计算一个很大的角，就减去 $2\pi$ 的整数倍，直到它落在 0 与 $2\pi$ 之间；对于负角，则加上 $2\pi$ 的整数倍。

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$，所以它与 $\frac{\pi}{4}$ 对应同一个点：$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
• $-\frac{\pi}{6}$ 与 $\frac{11\pi}{6}$ 终边相同，所以 $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$。
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$，所以 $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$。

关于 x 轴作对称还能得出两条对称规律：$\cos(-\theta) = \cos\theta$，所以余弦是偶函数；$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，所以正弦是奇函数。正切的周期更短，为 $\pi$，因为 $\theta$ 和 $\theta + \pi$ 对应的点关于原点相对，给出相同的比值 $\frac{y}{x}$。

毕达哥拉斯恒等式与求其他三角比

由于圆上每个点都满足 $x^2 + y^2 = 1$，每个角都满足三角学中最重要的恒等式：

决定符号的是象限；恒等式本身只给出大小。三角恒等式指南会从这个恒等式出发推导出更多恒等式。

用单位圆解基本三角方程

要在 $0 \le \theta < 2\pi$ 范围内解 $\sin\theta = \frac{1}{2}$ 这样的方程，就找出圆上所有纵坐标为 $\frac{1}{2}$ 的点。这样的点有两个：一个在第一象限，位于 $\frac{\pi}{6}$；另一个在第二象限，位于 $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$。

同样，$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 需要横坐标为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点，它们位于第二象限的 $\frac{3\pi}{4}$ 和第三象限的 $\frac{5\pi}{4}$。如果题目要求全部解，就加上 $2\pi k$，其中 $k$ 为任意整数：$\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ 或 $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$。

计算器的反正弦或反余弦只会给出一个答案。单位圆能告诉你第二个解在哪里，而计算器从来不会。

如何高效掌握单位圆

把十六个点当作互不相关的结论来背，既慢又容易忘。更好的方法是把三件事学扎实：第一象限中 $\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{3}$ 对应的三个点；如何求参考角；以及每个象限中的符号。掌握了这些，任何标准角都只需几秒钟。

练习方法是连续一周每天凭记忆画一次单位圆，并同时用角度和弧度标出各个角。然后用随机的角自测，包括负角和大于 $2\pi$ 的角。单位圆计算器能给出任意输入的精确值和参考角，方便你立即核对答案。后续内容，例如正弦定理和三角函数的微积分，都以这种熟练度为前提。

常见错误

• 把坐标弄反：横坐标是余弦，纵坐标是正弦。
• 弧度题目用了计算器的角度模式，或者反过来。
• 从 y 轴而不是 x 轴量参考角。
• 对 $\sin\theta = \frac{1}{2}$ 这样的方程只给出一个解。
• 忘记在余弦为零的位置，即 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 处，正切无定义。

从单位圆到正弦和余弦的图像

想象一个点以匀速沿单位圆逆时针运动。在第一个四分之一圈里，它在 x 轴上方的高度从 0 升到 1；转到半圈时回落到 0；转到四分之三圈时降到 $-1$；转满一圈后又回到 0。把这个高度对角度作图，就得到熟悉的 $y = \sin x$ 波形。如果改为描出水平位置，就得到 $y = \cos x$，它是同一个波形向左平移四分之一圈的结果。

这些图像的一切性质都能从单位圆中读出来。它们的值域是 $[-1, 1]$，因为半径为 1 的圆上点的坐标绝对值从不超过 1。它们的周期是 $2\pi$，因为转一整圈后点回到起点。正弦的零点在 $\pi$ 的整数倍处，也就是点穿过 x 轴的位置；余弦的零点在 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍处，也就是点穿过 y 轴的位置。把这些图像看作圆周运动的记录，也解释了为什么三角函数可以用来描述潮汐、声波、交流电以及其他一切周期性重复的现象。

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